[論文レビュー] Black-Scholes equation

N. Karjanto, Binur Yermukanova+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Financial Markets and Investment Strategies参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、金融デリバティブ価格設定における基礎的モデルとしてのブラック・ショールズ方程式を検討し、その理論的意義と解析的解法を詳述する。閉形式解と数値的手法を提示し、確率的ボラティリティ下でのヨーロピアン・オプション評価における方程式の中心的役割を示している。

ABSTRACT

This paper will discuss the importance of the Black-Scholes equation and its applications in finance. Also, the ways to solve the Black-Scholes equation will be discuss in length.

研究の動機と目的

• 現代の金融工学におけるブラック・ショールズ方程式の理論的・実用的意義を確立すること。
• デリバティブ評価におけるブラック・ショールズ偏微分方程式の数学的構造を分析すること。
• 方程式の解析的および数値的解法技術を検討すること。
• ヨーロピアン・スタイル・オプションの価格設定における方程式の応用を説明すること。
• 研究者および実務家向けに、解法手法の包括的概要を提供すること。

提案手法

• ノーアービッジの原則と伊藤の補題を用いたブラック・ショールズ偏微分方程式の導出。
• 変数変換技術を応用し、ブラック・ショールズPDEを熱方程式に変換すること。
• 標準的な解析的手法を用いて変換された熱方程式を解くこと。
• 変数の逆変換を通じてオプション価格の公式を再構築すること。
• 閉形式解が不適切な場合に必要な、有限差分スキームなどの数値的手法の議論。
• ヨーロピアン・コールおよびプット・オプションのブラック・ショールズ公式を、主な解析的結果として提示すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラック・ショールズ方程式の連続時間金融モデルにおける理論的基盤は何か？
• RQ2 ブラック・ショールズPDEを熱方程式に変換する方法は何か？ これにより解析的解法が可能になる。
• RQ3 ブラック・ショールズ公式が正確なオプション価格をもたらす条件は何か？
• RQ4 ブラック・ショールズ方程式を解くために数値的手法が必要となる状況はどのようなものか？
• RQ5 ブラック・ショールズモデルは、実際の標準化ヨーロピアン・オプションの価格設定にどのように寄与しているか？

主な発見

• ブラック・ショールズ方程式は、定常ボラティリティのもとでヨーロピアン・コールおよびプット・オプションに対して閉形式解を提供する。
• ブラック・ショールズPDEを熱方程式に変換することで、標準的なPDE技法を用いた正確な解析的解法が可能になる。
• 熱方程式の解は、広く知られたブラック・ショールズのオプション価格設定公式をもたらす。
• 解析的解は、定常ボラティリティおよび配当なしの仮定のもとで有効である。
• 定常ボラティリティの仮定が緩和される場合には、数値的手法が必要となる。
• ブラック・ショールズモデルは、単純化された仮定を伴うものの、金融工学における基盤的役割を果たし続けている。