[論文レビュー] Blaschke-type conditions in unbounded domains, generalized convexity and applications in perturbation theory

S. Favorov, Leonid Golinskiĭ|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素平面内のコンパクト集合に対して一般化された凸性概念である$r$-凸性を導入し、境界に従う成長を示す次調和関数のブラシュケ型条件を、非有界領域に対して確立する。これらの結果をシャテン＝フォン・ノイマンの摂動理論に応用し、スペクトル集合の幾何構造と摂動の強さに依存する明示的な減衰率を伴う離散固有値の収束評価を示す。

ABSTRACT

We introduce a new geometric characteristic of compact sets on the plane called $r$-convexity, which fits nicely into the concept of generalized convexity and extends essentially the conventional convexity. For a class of subharmonic functions on unbounded domains with $r$-convex compact complement, with the growth governed by the distance to the boundary, we obtain the Blaschke--type condition for their Riesz measures. The result is applied to the study of the convergence of the discrete spectrum for the Schatten--von Neumann perturbations of bounded linear operators in the Hilbert space.

研究の動機と目的

• コンパクトな補集合を持つ非有界領域に対して、標準的凸性を一般化する幾何的枠組みを構築し、境界に従う成長を示す次調和関数の解析を可能にする。
• コンパクトな補集合が$r$-凸性を満たす非有界領域における、次調和関数のリエス測度のブラシュケ型条件を確立する。
• 得られた評価をシャテン＝フォン・ノイマン摂動理論に応用し、特にトレースクラスまたはシャテン-$p$摂動下での有界線形作用素の離散固有値に対する収束評価を示す。
• 固有値の減衰率を、スペクトルの幾何構造と摂動のシャテンノルム$\|B\|_{{\mathcal{S}}_q}$に依存する定量的評価として提供する。

提案手法

• $r$-凸性を、集合を含む半径$r$の閉外部のすべての共通部分として定義し、標準的凸性を一般化する。
• 外側近傍$\Omega_t = \{z : \text{dist}(z,E) > t\}$を定義し、$\Omega_t$上のグリーン関数を用いて、$\psi(\text{dist}(z,E))$によって制御される成長を示す次調和関数を解析する。
• リエス分解定理を適用し、次調和関数を調和関数とリエス測度$\mu = \frac{1}{2\pi}\Delta v$を持つポテンシャルの和として表現する。
• グリーン関数とリエス測度を含む重要な積分評価を導出し、ブラシュケ型条件$\sum \Phi(\text{dist}(\lambda,E)) \leq C \|B\|_{{\mathcal{S}}_q}^q$に至る。
• コンformal写像と歪度推定を用いて、結果を単位円板から非有界領域へと移行させ、特にスペクトルが実数直線または単位円周上にある場合に有効である。
• 作用素ノルム$\|B\|$と関数$\Psi$を用いて、リエス測度の台の上限を確立し、測度が制御された領域に台を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸的だが$r$-凸性を満たすコンパクトな補集合を持つ非有界領域において、リエス測度のブラシュケ型条件を確立できるか。
• RQ2 スペクトルの幾何構造、特に$r$-凸性が、シャテン＝フォン・ノイマン摂動下での離散固有値の減衰率にどのように影響するか。
• RQ3 標準的なコンformal写像アプローチを、有限個の区間の和や単一の区間を越えて、ポテンシャル論的手法を用いて一般化できるか。
• RQ4 固有値の減衰率がシャテンノルム$\|B\|_{{\mathcal{S}}_q}$とスペクトル集合のミンコフスキー次元にどのように依存するか。
• RQ5 スペクトル$\sigma(A_0)$にどのような幾何的条件を課すと、スペクトル変換に依存しない$A = A_0 + B$の離散固有値に対する一様な境界が得られるか。

主な発見

• $r$-凸性を満たすコンパクト集合$E$に対して、$|\log|f(z)|| \leq K_f / \text{dist}^q(z,E)$という成長を示す次調和関数に対して、ブラシュケ型条件$\sum_{n}(1-|z_n|)\text{dist}^p(z_n,E) \leq C K_f$が成り立つ。ここで$p = \max(q + \kappa(E) - 1 + \varepsilon, 0)$であり、$\kappa(E)$は$E$の上位ミンコフスキー次元である。
• 境界$E$をもつ非有界領域$\Omega = \overline{\mathbb{C}} \setminus E$上に定義された次調和関数$v$（$v(\infty) = 0$、$v(z) \leq K_v \psi(\text{dist}(z,E))$）のリエス測度$\mu$は、適切な重み関数$\Phi$に対して、重み付きsummability条件$\sum \Phi(\text{dist}(\lambda,E)) \leq C \|B\|_{{\mathcal{S}}_q}^q$を満たす。
• 実数またはユニタリスペクトルをもつ有界作用素$A_0$とシャテン-$q$摂動$B$に対して、離散固有値スペクトル$\sigma_d(A)$は、$\psi(t) = t^{-p}$（$p > 0$）かつ$q > 0$のとき、$\sum_{\lambda \in \sigma_d(A)} d^{pq+1+\varepsilon}(\lambda) < \infty$を満たす。
• ヒルベルト＝シュミット摂動（$q=2$）を受ける正規作用素で、$C^2$-滑らかまたはBC-弧をもつスペクトル$\gamma$に対して、$\Phi(x) = x^{3+\varepsilon}$（$x \leq 1$）および$x^{2-\varepsilon}$（$x > 1$）のとき、$\sum \Phi(d(\lambda)) \leq C \|K\|_{{\mathcal{S}}_2}^2$が成り立つ。
• リエス測度の台は$\|B\|$に関して一様に有界であり、これにより離散固有値は摂動ノルムと関数$\Psi$に依存する制御された領域内に存在することが保証される。