[論文レビュー] Blind Compressed Sensing

Sivan Gleichman, Yonina C. Eldar|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スパース信号のスパース基底に関する事前知識がなくても、圧縮測定値から信号を回復できるフレームワーク、盲目的圧縮センシング（BCS）を提案する。スパース基底に構造的制約（既知の有限集合への属する、辞書内の列のスパースな組み合わせである、複数の信号にわたる構造的スパarsityであるなど）を課すことにより、ガウス測定行列を用いて、高い確率で一意な回復が可能となり、信号が十分にスパースな場合、標準的な圧縮センシングの性能と同等となる。

ABSTRACT

The fundamental principle underlying compressed sensing is that a signal, which is sparse under some basis representation, can be recovered from a small number of linear measurements. However, prior knowledge of the sparsity basis is essential for the recovery process. This work introduces the concept of blind compressed sensing, which avoids the need to know the sparsity basis in both the sampling and the recovery process. We suggest three possible constraints on the sparsity basis that can be added to the problem in order to make its solution unique. For each constraint we prove conditions for uniqueness, and suggest a simple method to retrieve the solution. Under the uniqueness conditions, and as long as the signals are sparse enough, we demonstrate through simulations that without knowing the sparsity basis our methods can achieve results similar to those of standard compressed sensing, which relay on prior knowledge of the sparsity basis. This offers a general sampling and reconstruction system that fits all sparse signals, regardless of the sparsity basis, under the conditions and constraints presented in this work.

研究の動機と目的

• 信号回復にスパース基底の事前知識を必要とする圧縮センシングの制限を解消すること。
• 任意のスパース信号に適用可能な統一的なサンプリングおよび再構成フレームワークを構築すること。
• スパース基底の知識が欠如している状況でも、盲目的回復が一意に可能となる理論的条件を証明すること。
• スパース基底に特定の構造的制約が課された状況での実用的アルゴリズムを提案すること。
• シミュレーションを通じて、信号が十分にスパースな場合、BCSが標準的な圧縮センシングと同等の性能を達成することを示すこと。

提案手法

• 盲目的圧縮センシングにおける一意性を保証するための3つの制約を提案：（1）スパース基底が既知の有限個の基底の集合に属すること、（2）基底が与えられた辞書の列のスパースな線形結合であること、（3）複数の信号にわたる構造的スパarsityであること。
• 最初の制約については、標準的な圧縮センシング問題の系列として扱い、標準的なCSソルバーを用いて回復を可能にする。
• 2番目の制約については、標準的な圧縮センシング問題として定式化するか、スパースな辞書を用いた辞書学習として定式化し、両アプローチを比較する。
• ガウス確率的測定行列を用い、提案された制約のもとで、一意性条件を確率1で満たすことを証明する。
• 2段階の回復プロセスを採用：まず制約のもとでスパース基底を推定し、その後標準的なスパース回復アルゴリズムを用いて信号を再構成する。
• 提案された制約のもとで、測定行列がフルスパークを満たし、ブロック間対角構造を避ける必要があることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース基底の事前知識がなければ、圧縮測定値からスパース信号を一意に回復できる条件は何か？
• RQ2 真のスパース基底が未知である場合、盲目的地理的圧縮センシングは、標準的な圧縮センシングと同等の性能を達成できるか？
• RQ3 スパース基底にどのような構造的制約を課すと、盲目的地理的状況でも一意な回復が保証されるか？
• RQ4 測定数と信号数が、提案された制約のもとでの盲目的回復の成功にどのように影響するか？
• RQ5 提案された制約のもとで、ガウス確率的測定行列は、盲目的地理的圧縮センシングにおいて一意な回復を保証できるか？

主な発見

• 信号が十分にスパースで、スパース基底が提案された制約を満たしている場合、盲目的地理的圧縮センシングは、標準的な圧縮センシングと同等の信号回復性能を達成する。
• 確率1で、ガウス確率的測定行列は、提案された制約のもとで一意性条件を満たす。
• 制約が適用されていない場合、盲目的地理的圧縮センシングにおける一意な回復に必要な測定数は、信号の環境次元と等しくなる。これは、構造的仮定の必要性を強調する。
• 有限集合への属する基底という制約では、方法は複数の標準的圧縮センシング問題に還元され、既存のソルバーを用いて効率的な回復が可能になる。
• スパース基底という制約では、問題はスパースな辞書を用いた辞書学習として定式化でき、標準的なCSとDLの両アプローチで類似した回復性能が得られる。
• シミュレーションにより、構造的制約と十分なスパarsityのもとで、盲目的地理的圧縮センシングは、スパース基底が既知の状況での標準的圧縮センシングと同等の再構成精度で信号を回復できることを確認した。