[論文レビュー] Blind Deconvolution Meets Blind Demixing: Algorithms and Performance Bounds

Shuyang Ling, Thomas Strohmer|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 34被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、1つの混合観測から同時に r 個の信号とそれらに対応する畳み込みフィルタを回復するための新規フレームワークを提案する。半定値計画法（SDP）を用い、信号が既知の低次元部分空間に存在し、フィルタの遅延ス预が有界であるという現実的な仮定のもと、測定数 L が $ L \gtrsim Cr^2\max\{K, \mu_h^2 N\} $ のスケールで増加する場合、高確率でロバストかつ正確な回復が達成される。ここで $ K $ は最大遅延ス预、$ N $ は部分空間次元である。

ABSTRACT

Suppose that we have $r$ sensors and each one intends to send a function $\boldsymbol{g}_i$ (e.g.\ a signal or an image) to a receiver common to all $r$ sensors. During transmission, each $\boldsymbol{g}_i$ gets convolved with a function $\boldsymbol{f}_i$. The receiver records the function $\boldsymbol{y}$, given by the sum of all these convolved signals. When and under which conditions is it possible to recover the individual signals $\boldsymbol{g}_i$ and the blurring functions $\boldsymbol{f}_i$ from just one received signal $\boldsymbol{y}$? This challenging problem, which intertwines blind deconvolution with blind demixing, appears in a variety of applications, such as audio processing, image processing, neuroscience, spectroscopy, and astronomy. It is also expected to play a central role in connection with the future Internet-of-Things. We will prove that under reasonable and practical assumptions, it is possible to solve this otherwise highly ill-posed problem and recover the $r$ transmitted functions $\boldsymbol{g}_i$ and the impulse responses $\boldsymbol{f}_i$ in a robust, reliable, and efficient manner from just one single received function $\boldsymbol{y}$ by solving a semidefinite program. We derive explicit bounds on the number of measurements needed for successful recovery and prove that our method is robust in the presence of noise. Our theory is actually sub-optimal, since numerical experiments demonstrate that, quite remarkably, recovery is still possible if the number of measurements is close to the number of degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 1つの混合観測からの r 個の信号とそれらの畳み込みフィルタを同時に回復するという、追加制約なしでは極めて不安定な問題に取り組む。
• 複数の受信信号を必要とする従来の手法の制限を克服し、1つの観測からの回復を可能にする。
• 信号が既知の低次元部分空間に存在し、フィルタの遅延ス预が有界であるといった実用的仮定のもとで、回復の理論的性能限界を確立する。
• IoT や無線通信、画像処理などの実世界応用へのスケーラビリティとノイズへのロバスト性を示す。
• 盲的な畳み込みと盲的な混合を統合した単一の最適化問題に、凸緩和によって解ける包括的フレームワークを提供する。

提案手法

• 各信号 $ \boldsymbol{g}_i $ を、$ \boldsymbol{A}_i $ を $ L \times N $ 行列として $ \boldsymbol{g}_i = \boldsymbol{A}_i \boldsymbol{x}_i $ と定式化し、既知の $ N $ 次元部分空間上に位置するとモデル化する。
• 未知の信号とフィルタから構成される低ランク行列の核ノルムを最小化する半定値計画問題（SDP）として、共同回復問題を定式化する。
• 信号とフィルタ成分の外積を表す行列変数上の凸最適化問題に変換するためのリフト技術を用いる。
• 測定行列 $ \boldsymbol{A}_i $ に局所的相互不整合性条件を組み込み、$ \boldsymbol{A}_i $ が i.i.d. ガウス行列である場合、高確率でこの条件を満たすことを示す。
• 低周波成分の畳み込みをモデル化するために、ランダム・フーリエ型行列構造を採用し、不整合パラメータ $ \mu_h^2 $ の構造的解析を可能にする。
• 測度集中と確率的行列理論を活用し、SDP定式化のもとで高確率の回復保証を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、1つの混合観測から r 個の信号とその畳み込みフィルタを一意に回復できるか？
• RQ2 高確率での正確な回復に必要な最小測定数 $ L $ はどの程度か？
• RQ3 加法的ノイズが存在する状況での本手法の性能はどのようにか？また、摂動に対してどの程度ロバストか？
• RQ4 従来の手法が複数の信号を必要とするのに対し、本手法は1つの観測からの回復が可能か？
• RQ5 部分空間構造と不整合性が、最小限のサンプリングで回復を可能にする役割は何か？

主な発見

• 提案された半定値計画法は、提示された仮定のもとで、1つの観測 $ \boldsymbol{y} $ からすべての $ r $ 個の信号 $ \boldsymbol{g}_i $ とそれに対応するフィルタ $ \boldsymbol{f}_i $ を高確率で回復する。
• 成功した回復に必要な測定数 $ L $ は $ L \gtrsim Cr^2\max\{K, \mu_h^2 N\} $ のスケールで増加する。ここで $ K $ は最大遅延ス预、$ \mu_h^2 $ は不整合パラメータである。
• 数値実験では、自由度の数に近い $ L $ であっても回復が可能であることが示され、理論的限界は若干非効率であるが、実際の応用では非常に有効であることが示された。
• 加法的ノイズに対してもロバストであり、理論的保証によりノイズ下でも安定した回復が可能である。
• 回復はグローバルスケーリングの不確かさを除き一意である：各 $ \boldsymbol{x}_i $ を $ c_i $ 倍し、各 $ \boldsymbol{f}_i $ を $ 1/c_i $ 倍しても、観測信号 $ \boldsymbol{y} $ は変化しない。
• 本フレームワークは、音声処理、画像のぼかし除去、神経科学、分光法、将来のIoTシステムなど、信号伝送のオーバーヘッドを最小限に抑える必要がある幅広い応用分野に適用可能である。