[論文レビュー] BLM realization for ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$

Qiang Fu|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、環の自己同型と安定化されたアフィンシュール代数の構造定数を用いて、アフィン一般線型リー代数の普遍包あくり代数の整数的形 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ の BLM 実現を確立する。明示的な $\mathbb{Z}$-基底と明示的な積公式を構成し、${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ が $\mathbb{Z}$-ホップ部分代数であり、整数的アフィンシュール代数への自然な写像が全射であることを証明する。

ABSTRACT

In 1990, Beilinson-Lusztig-MacPherson (BLM) discovered a realization \cite[5.7]{BLM} for quantum $\frak{gl}_n$ via a geometric setting of quantum Schur algebras. We will generailze their result to the classical affine case. More precisely, we first use Ringel-Hall algebras to construct an integral form ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$ of ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$, where ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$ is the universal enveloping algebra of the loop algebra $\hat{\frak{gl}}_n:=\frak{gl}_n(\mathbb Q)\otimes\mathbb Q[t,t^{-1}]$. We then establish the stabilization property of multiplication for the classical affine Schur algebras. This stabilization property leads to the BLM realization of ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$ and ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$. In particular, we conclude that ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$ is a $\mathbb Z$-Hopf subalgebra of ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$. As a bonus, this method leads to an explicit $\mathbb Z$-basis for ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$, and it yields explicit multiplication formulas between generators and basis elements for ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$. As an application, we will prove that the natural algebra homomorphism from ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$ to the affine Schur algebra over $\mathbb Z$ is surjective.

研究の動機と目的

• 量子 $\mathfrak{gl}_n$ のベイルソン–ルシュチグ–マクファーソン（BLM）実現を古典的アフィンの場合に拡張すること。
• リングエル＝ホール代数を用いて、ループ代数 $\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ の普遍包あくり代数の整数的形 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ を構成すること。
• 有限型の場合に類似する、アフィンシュール代数における積の安定化性を確立すること。
• ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ が $\mathbb{Z}$-ホップ部分代数であること、および明示的な $\mathbb{Z}$-基底と明示的な積公式を構成すること。
• 自然な代数準同型 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n) \to$ 整数的アフィンシュール代数の surjectivity を証明することにより、整数的アフィンシュール＝ウェイル双対性を確立すること。

提案手法

• ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ を ${\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ の自由な $\mathbb{Z}$-部分加群として、リングエル＝ホール代数を用いて構成する。
• アフィンシュール代数の構造定数に対する安定化性を証明し、[1, 4.2] をアフィン設定に一般化する。
• 単位元を持たない代数 ${\mathcal{K}}_{\mathbb{Z}}(n)$ を導入し、その完備化 $\widehat{\mathcal{K}}_{\mathbb{Q}}(n)$ を考える。
• ${\mathcal{K}}_{\mathbb{Q}}(n)$ 内に $\mathbb{Z}$-部分加群 ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$ を構成し、それが明示的な積公式を備えた $\mathbb{Z}$-部分代数であることを証明する。
• ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Q}}(n) \cong {\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ なる同型を確立し、有理数レベルでの BLM 実現を示す。
• ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$ が ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ を実現することを証明し、明示的な $\mathbb{Z}$-基底と積則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子 $\mathfrak{gl}_n$ の BLM 実現を古典的アフィンの場合に拡張できるか？
• RQ2 有限型の場合に類似する、アフィンシュール代数における積の安定化性は存在するか？
• RQ3 整数的形 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ に対して明示的な $\mathbb{Z}$-基底と積公式を構成できるか？
• RQ4 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ は ${\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ の $\mathbb{Z}$-ホップ部分代数か？
• RQ5 自然な代数準同型 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n) \to$ 整数的アフィンシュール代数は全射か？

主な発見

• ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ に対して明示的な $\mathbb{Z}$-基底を ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$ を通じた実現により構成する。
• ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ の生成子と任意の基底元との間の明示的な積公式を導出する。
• ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ が ${\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ の $\mathbb{Z}$-ホップ部分代数であることを証明する。
• BLM 実現が確立される：${\mathcal{V}}_{\mathbb{Q}}(n) \cong {\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ であり、${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$ が ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ を実現する。
• 自然な代数準同型 $\xi_r: {\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n) \twoheadrightarrow {\mathcal{S}}_{{\!\vartriangle\!}}(n,r)_{\mathbb{Z}}$ は全射である。
• アフィンシュール＝ウェイル双対性は整数的レベルでも成立し、$\xi_r$ は任意の体 $k$ において全射である。