[論文レビュー] Bloch function description of a Bose-Einstein condensate in a finite optical lattice

M. J. Steel, Weiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 1998

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、外部のトラップを伴う有限な光格子内のボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）を記述するため、ブロッホ関数に基づく有効質量近似を開発する。凝縮状態の波動関数をブロッホ状態をモodulatingする包絡関数として表現することで、急速な格子振動を含まない非線形シュレーディンガー方程式を導出し、弱い、中程度の、強い相互作用領域において明確な有効範囲を有する地面状態解の解析を可能にする。

ABSTRACT

We consider stationary and propagating solutions for a Bose-Einstein condensate in a periodic optical potential with an additional confining optical or magnetic potential. Using an effective mass approximation we express the condensate wavefunction in terms of slowly-varying envelopes modulating the Bloch modes of the optical lattice. In the limit of a weak nonlinearity, we derive a nonlinear Schrödinger equation for propagation of the envelope function which does not contain the rapid oscillation of the lattice. We then consider the ground state solutions in detail in the regime of weak, moderate and strong nonlinear interactions. We describe the form of solution which is appropriate in each regime, and place careful limits on the validity of each type of solution.

研究の動機と目的

• 周期的な光ポテンシャル内のトラップ付きボーズ＝アインシュタイン凝縮を、ブロッホ関数と有効質量近似を用いてモデル化すること。
• 凝縮状態の波動関数から急速な格子振動を除去するため、それをゆっくり変化する包絡関数がブロッホモードをモodulatingする形で表現すること。
• 格子スケールの振動を含まない、包絡関数のダイナミクスを記述する簡略化された非線形シュレーディンガー方程式を導出すること。
• 弱い非線形性の極限において、有効方程式の妥当性を保証するための摂動論的アプローチを適用すること。
• 得られた包絡関数方程式の数値的および解析的取り扱いにより、地面状態解を求める。
• 相互作用強度および格子の深さに基づいて、解の有効性を体系的に評価すること。

提案手法

• 有効質量近似を用いて、凝縮状態の波動関数をゆっくり変化する包絡関数がモodulatingするブロッホ状態の重ね合わせとして記述する。
• 光格子ポテンシャルのブロッホ関数を用いて波動関数を展開する。
• 急速な格子振動を含まない包絡関数のための非線形シュレーディンガー方程式を導出する。
• 弱い非線形性の極限において摂動論を適用し、有効方程式の正当性を裏付ける。
• 得られた包絡関数方程式の数値的および解析的処理により、地面状態解を求める。
• 相互作用強度および格子深さに基づいて、解の有効性を体系的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な光格子内のBECの波動関数は、どのようにブロッホ関数と包絡関数を用いて効果的に記述できるか？
• RQ2 急速な格子振動を含まない状況下で、包絡関数のダイナミクスを記述する有効な非線形シュレーディンガー方程式の形は何か？
• RQ3 弱い、中程度の、強い非線形相互作用領域において、地面状態解はどのように振る舞うか？
• RQ4 異なる相互作用領域における各解タイプの有効性に関する定量的限界は何か？
• RQ5 有効質量近似は、周期的ポテンシャル内でのBECダイナミクスの簡略化された記述をどのように可能にするか？

主な発見

• 凝縮状態の波動関数が包絡関数がブロッホ状態をモodulatingする形でうまく表現され、急速な格子振動が除去された。
• 格子スケールの変動を含まない、系のダイナミクスを正確に記述する非線形シュレーディンガー方程式が包絡関数に対して導出された。
• 地面状態解が弱い、中程度の、強い相互作用領域にわたって解析的および数値的に特徴づけられた。
• 相互作用強度および格子深さに基づいて、各解タイプの有効性が厳密に境界づけられた。
• 有効質量近似は、外部トラップを伴う有限な光格子内のBECを研究するための一貫した枠組みを提供する。
• 導出された有効方程式により、格子スケールの振動を排除した周期的ポテンシャル内でのBEC特性の体系的解析が可能になった。