[論文レビュー] Bloch-like Electronic Wave Functions in Two-Dimensional Quasicrystals

Shahar Even-Dar Mandel, Ron Lifshitz|ArXiv.org|Aug 27, 2008

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、2次元準結晶において、ほぼ簡約な臨界固有状態の線形結合を通じて、拡張的でブローチに類似した電子波動関数が出現しうることを示している。著者らは、正方形フォビオナチ準結晶モデルに対して反復的探索アルゴリズムを用い、このような結合が準周期的長距離秩序とブラッグ回折パターンを示すことを明らかにした。これは、一般に臨界的（代数的に減衰する）波動関数であるにもかかわらず、実際の準結晶においてブローチの定理に類似した準周期的アナログが成立しうることを示唆している。

ABSTRACT

Electrons in quasicrystals generically possess critical wave functions that are neither exponentially-localized nor extended, but rather decay algebraically in space. Nevertheless, motivated by recent calculations on the square and cubic Fibonacci quasicrystals, we investigate whether it is possible to obtain extended wave functions expressed as linear combinations of degenerate, or nearly-degenerate, critical eigenfunctions. We find that not only is this possible, but that the wave functions that emerge are Bloch-like, exhibiting the quasiperiodic long-range order of the underlying quasicrystal. We discuss the significance of this result for the study of electronic properties of real quasicrystals.

研究の動機と目的

• 個々の固有状態が一般に臨界的（代数的に減衰する）であるにもかかわらず、2次元準結晶に拡張的電子波動関数が出現しうるかどうかを調査すること。
• 縮退的またはほぼ縮退的な臨界固有状態の線形結合が、準周期的秩序を示す拡張的でブローチに類似した波動関数を生成しうるという仮説を検証すること。
• このような波動関数が、熱的要因、不純物、外部場の影響を受ける現実の準結晶的系において物理的に意味を持つかどうかを調査すること。
• 有限近似子の次数を増加させることで、これらのブローチに類似した波動関数が準周期的極限においても存続するかどうかを特定すること。
• 現実の準結晶において、電子輸送および量子力学的ダイナミクスに与える、ほぼ縮退固有状態の役割を評価すること。

提案手法

• パラメータ T を用いて1次元フォビオナチ系列に従う hopping 幅を持つ、正方形フォビオナチタイル上での分離可能な非対角tight-bindingモデルを採用する。
• 1次元フォビオナチ固有状態のカルテジアン積を用いて2次元固有状態および固有値を構築し、1次元固有値の和として表す。
• 縮退的またはほぼ縮退的な固有状態に焦点を当て、構造を無視して波動関数の空間的広がりを最大化するため、反復的探索アルゴリズム（Elser et al., 2007）を適用する。
• 波動関数の強度 |Ψ|² 及びそのフーリエ変換を分析し、準周期的長距離秩序および準結晶的回折に特徴的なブラッグピークを検出する。
• 近似子の次数を増加させることで、近似子の格子点数（Fₙ²）あたりのほぼ縮退固有状態の数を評価し、その空間的密度を算出する。
• 熱的または不純物由来のエネルギー不確実性を模擬するため、小さなエネルギー窓 Δε = 0.01 を導入し、この窓内にあるすべての状態をアルゴリズム上で実質的に縮退しているとみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元準結晶において、臨界固有状態の線形結合を通じて、準周期的長距離秩序を示す拡張的波動関数が出現しうるか？
• RQ2 エネルギースペクトルにほぼ縮退した固有状態が存在する場合、それらが準結晶系においてブローチに類似した波動関数の形成を可能にするか？
• RQ3 これらのブローチに類似した波動関数は、近似子の次数を増加させることで準周期的極限においても存続するか？
• RQ4 大規模な準結晶的近似子におけるほぼ縮退固有状態の空間的密度はどの程度であり、系のサイズが増大しても一定のままであるか？
• RQ5 確率密度 |Ψ|² のフーリエ変換が、準結晶の内在する準周期的秩序をどの程度反映しているか？

主な発見

• 正方形フォビオナチ準結晶において、ほぼ縮退した臨界固有状態の線形結合から、|Ψ|² に準周期的長距離秩序を示すブローチに類似した特徴を有する拡張的波動関数が出現する。
• T = 2.5 および T = 5 の場合、波動関数の強度パターンに明確な準周期的秩序が観察され、そのフーリエ変換には、準結晶の回折に類似した明確なブラッグピークが現れる。
• 近似子の次数を N = 9 から 12 に増加させても、格子点あたりのほぼ縮退固有状態の数は一定のままであり、これは準周期的極限においてもその空間的密度が減少しないことを示している。
• 反復的探索アルゴリズムは、個々の固有状態が臨界的に局在化している場合でも、特に空間的減衰が重なりを上回る高T値の領域で、拡張的波動関数を成功裏に生成している。
• 低T（例：T = 1.4）では、減衰が遅く重なりが強いことから波動関数がぼやけており、長距離秩序も弱いが、Tが増加するにつれて波動関数はますますブローチに類似した性質を示すようになる。
• 小さなエネルギー窓 Δε = 0.01 の存在により、アルゴリズムが多数の固有状態を縮退しているとみなせるようになり、熱的または不純物由来のエネルギー不確実性がある現実的な状況でも、拡張状態の出現が可能になる。