[論文レビュー] Bloch oscillations in complex crystals with PT symmetry

Stefano Longhi|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2010

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、PT対称な複素ポテンシャルを有する光格子におけるBloch振動（BO）を調査し、PT対称性の破れに起因する非再帰的BOが生じることを示しており、特定の共鳴条件下で非対称なBragg散乱と実数値のWannier-Starkラダーが発生する。主な結果は、現在の半導体技術で実現可能な増幅・減衰を制御した波ガイドアレイを用いて、減衰のない非再帰的BOが実現可能であるということである。

ABSTRACT

Bloch oscillations (BO) in complex lattices with PT symmetry are theoretically investigated with specific reference to optical BO in photonic lattices with gain/loss regions. Novel dynamical phenomena with no counterpart in ordinary lattices, such as non-reciprocal BO related to violation of the Friedel's law of Bragg scattering in complex potentials, are highlighted.

研究の動機と目的

• PT対称性を有する複素周期的ポテンシャルにおけるBloch振動の挙動を調査し、従来の実数値格子を超えて展開すること。
• PT対称格子における非再帰的波動輸送やBragg散乱におけるFriedelの法則の破れを含む、新たな力学的現象を同定すること。
• 複素ポテンシャルが存在するにもかかわらず、エネルギースペクトルが実数であり、離散的Wannier-Starkラダーを形成する条件を確立すること。
• これらの効果が観測可能な実験的光システム—空間的に変調された増幅・減衰を有する結合波ガイド—を提案すること。

提案手法

• 外部の直流力に相当する横方向の屈折率勾配を含む、複素屈折率ポテンシャルを有する一次元光格子における光の伝播を、シュレーディンガー型方程式を用いてモデル化する。
• ハミルトニアンをPT対称な演算子として定義し、V(−x) = V*(x) を満たすことで、増幅/減衰の臨界閾値αc未満では実数エネルギースペクトルが保証される。
• Bloch-Floquet理論を用いて波動関数を固有状態φn(x,κ)の展開で表し、バンド分散En(κ)と随伴状態φ†n(x,κ)を導入し、正規化係数Dnを用いて直交性を保証する。
• Zenerトンネル効果に起因する帯間遷移を含む、スペクトル係数cn(κ,z)の時間発展方程式を導出する。この方程式は、結合項Xn,l(κ)と力Fによって支配される。
• Wannier-Stark極限において、伝搬行列Sの連立微分方程式を解くことで、複素エネルギー準位の階層構造を解析する。
• 二元的波ガイド格子における周期的増幅・減衰を有する系の数値シミュレーションを通じて、結果を検証する。離散的モデルを用いて、複素オンサイトポテンシャルを持つ結合波ガイド系を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称な複素ポテンシャルを有する光格子におけるBloch振動は、従来の実数値格子と比較してどのように振る舞うか？
• RQ2 増幅・減衰が存在するにもかかわらず、PT対称系で実数値のWannier-Starkラダーが形成される条件は何か？
• RQ3 非対称なBragg散乱に起因する非再帰的Bloch振動が、Friedelの法則の破れを伴って生じる可能性はあり得るか？
• RQ4 増幅/減衰強度αが、このような系における実数スペクトルから複素スペクトルへの遷移を決定づける役割は何か？
• RQ5 どのようなパrameter領域で減衰のない、増幅のないBloch振動が現れ、実験的にどのように実現可能か？

主な発見

• 非再帰的Bloch振動は、PT対称格子における非対称Bragg散乱に起因し、Friedelの法則を破り、方向性輸送を可能にする。
• α < αc = 1 の条件下で、余弦正弦ポテンシャル V(x) = V0[cos(2πx/a) + i sin(2πx/a)] において、エネルギースペクトルは実数であり、離散的Wannier-Starkラダーを形成する。
• Re(σ) = 0 の共鳴条件が成立すると、実数値の単一のWannier-Starkラダー El = Fal が形成され、F = 1.618 m⁻¹ の場合、z_B ≈ 39.1 mm の周期で減衰のないBloch振動が観測される。
• 平面 (Δ/f, g/f) 上の共鳴曲線は、ベッセル関数J₀の零点付近に起源を発する予測がなされ、数値シミュレーションにより減衰のないブリーティングモードの存在が確認された。
• 複素二元格子（α = 0.01）において、増幅係数はg ≈ 1.46 cm⁻¹、結合率Δ ≈ 14 cm⁻¹と推定され、両者とも現在の半導体波ガイド技術で達成可能である。
• 複素共役固有値がバンド端で出現するため、任意のg > 0 に対してPT対称性の破れの臨界閾値αc = 0 となる。これにより、低増幅/減衰レベルでもPT対称性の破れが実現可能である。