[論文レビュー] Bloch sphere model for two-qubit pure states

Chu-Ryang Wie|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、二量子ビット純粋状態の幾何学的モデルを、三つの単位2次元球面と位相因子を用いて提案する。二つの球面は個々の量子ビットのブロッホ球に対応し、残りの一つは量子もつれの度合い（concurrence）と非局所的位相を符号化する。ホフプ・ファイブレーションと単一のクaternion的関係を用いることで、局所的および非局所的性質を統一的に扱い、状態とユニタリ操作の幾何学的表現を可能にする。

ABSTRACT

The two-qubit pure state is explicitly parameterized by three unit 2-spheres and a phase factor. For separable states, two of the three unit spheres are the Bloch spheres of each qubit. The third sphere parameterizes the degree and phase of concurrence, an entanglement measure. This sphere may be considered a variable complex imaginary unit where the stereographic projection maps the qubit-A Bloch sphere to a complex plane with this variable imaginary unit. This Bloch sphere model gives a consistent description of the two-qubit pure states for both separable and entangled states. We argue that the third sphere (entanglement sphere) parameterizes the nonlocal properties, entanglement and a nonlocal relative phase, while the local relative phases are parameterized by the azimuth angles of the two quasi-Bloch spheres. On these three unit spheres and a phase factor, the two-qubit pure states and unitary gates can be geometrically represented. Accomplished by means of Hopf fibration, the complex amplitudes of a two-qubit pure state and the Bloch sphere parameters are related by a single quaternionic relation.

研究の動機と目的

• 局所的および非局所的量子的性質を統合した、二量子ビット純粋状態の統一的幾何学的表現の構築。
• 標準的な個々の量子ビットのブロッホ球とは異なる、第三の単位球面を用いてもつれと非局所的相対位相をパラメータ化すること。
• ホフプ・ファイブレーションなどの位相的道具を用いて、分離状態およびもつれ状態の両方を対象とする一貫性のある幾何学的枠組みの確立。
• 二量子ビット状態の複素振幅を、単一のクaternion的方程式によりブロッホ球のパラメータに関連付けること。
• 球面に基づくパラメータ化を通じて、二量子ビット純粋状態におけるユニタリ操作の幾何学的可視化を可能にすること。

提案手法

• 二量子ビット純粋状態を、三つの単位2次元球面とグローバル位相因子でパラメータ化し、そのうち二つを個々の量子ビットのブロッホ表現に対応付ける。
• 第三の球面を、もつれの度合い（concurrence）の大きさと位相を表すものとし、変動する複素虚数単位として機能させる。
• エンタングルメント球面からのステレオグラフィック射影を用い、量子ビットAのブロッホ球面を非標準的な虚数単位を持つ複素平面へ写像する。
• ホフプ・ファイブレーションを用いて、二量子ビット状態の複素振幅を三つの球面パラメータと位相因子に関連付ける単一のクaternion的関係を導出する。
• 二つの準ブロッホ球の方位角の位相に符号化された局所的相対位相と、エンタングルメント球面に符号化された非局所的位相を区別する。
• 三つの球面と位相因子を操作することで、二量子ビット状態およびユニタリゲートの幾何学的表現を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二量子ビット純粋状態は、どのように幾何学的にパラメータ化可能か。その際、局所的量子ビット状態と非局所的もつれ状態を同時に表現できるか。
• RQ2 第三の単位球面は、標準的なブロッホ球とは異なる枠組みにおいて、もつれと非局所的相対位相をどのように符号化しているか。
• RQ3 ホフプ・ファイブレーションのような位相的構造を用いて、分離状態およびもつれ状態の両方を対象とする統一的幾何学的モデルを構築可能か。
• RQ4 二量子ビット状態の複素振幅は、三球面モデルのパラメータとどのように関係しているか。
• RQ5 この幾何学的枠組みにおいて、局所的相対位相と非局所的位相は、どのように異なっているか。

主な発見

• 二量子ビット純粋状態は、三つの単位2次元球面とグローバル位相因子によって完全にパラメータ化され、完全な幾何学的記述が可能である。
• 第三の球面（エンタングルメント球面）は、もつれの大きさと位相を符号化し、もつれの度合いを定量化する。
• エンタングルメント球面は、変動する複素虚数単位として機能し、これにより量子ビットAのブロッホ球面が非標準的な複素構造を持つ複素平面へ写像されるステレオグラフィック射影が可能になる。
• 局所的相対位相は二つの準ブロッホ球の方位角に符号化され、非局所的位相はエンタングルメント球面に符号化される。
• ホフプ・ファイブレーションから導かれる単一のクaternion的関係により、二量子ビット状態の複素振幅が三つの球面パラメータと位相因子に関連付けられる。
• このモデルにより、三つの球面と位相の操作を通じて、二量子ビット純粋状態およびユニタリ操作の両方の幾何学的表現が可能になる。