[論文レビュー] Block Backstepping for Isotachic Hyperbolic PDEs and Multilayer Timoshenko Beams

Guangwei Chen, Rafael Vázquez+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2023

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複数の状態が同じ輸送速度を持つ『等速的双曲型PDE』に対してブロックバックステッピング設計を導入し、制御不能な境界でアンチダンピングおよびアンチスティフネスを有するN層ティモシェンコ梁の高速安定化を可能にする。Riemann変換により梁モデルを1次元の双曲型PIDE-ODE系に変換し、ブロックバックステッピングを適用することで、制御パラメータによる調整が可能な指数的減衰率を有する任意の高速な$L^2$安定性を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the rapid stabilization of N-layer Timoshenko composite beams with anti-damping and anti-stiffness at the uncontrolled boundaries. The problem of stabilization for a two-layer composite beam has been previously studied by transforming the model into a 1-D hyperbolic PIDE-ODE form and then applying backstepping to this new system. In principle this approach is generalizable to any number of layers. However, when some of the layers have the same physical properties (as e.g. in lamination of repeated layers), the approach leads to isotachic hyperbolic PDEs (i.e. where some states have the same transport speed). This particular yet physical and interesting case has not received much attention beyond a few remarks in the early hyperbolic design. Thus, this work starts by extending the theory of backstepping control of (m + n) hyperbolic PIDEs and m ODEs to blocks of isotachic states, leading to a block backstepping design. Then, returning to multilayer Timoshenko beams, the Riemann transformation is used to transform the states of N-layer Timoshenko beams into a 1-D hyperbolic PIDE-ODE system. The block backstepping method is then applied to this model, obtaining closed-loop stability of the origin in the L2 sense. An arbitrarily rapid convergence rate can be obtained by adjusting control parameters. Finally, numerical simulations are presented corroborating the theoretical developments.

研究の動機と目的

• 等速的双曲型PDE（複数の状態が同一の輸送速度を持つ）に対する体系的制御設計の不足に取り組むこと。これは、繰り返し層を持つ積層構造で一般的に見られる。
• 従来のバックステッピング設計が異なる輸送速度を仮定しているのに対し、同一の輸送速度を持つ状態のブロックを扱えるようにバックステッピング手法を拡張すること。
• 境界で不安定化要因（アンチダンピングおよびアンチスティフネス）を有するN層ティモシェンコ梁を境界フィードバック制御により安定化すること。
• 新規のブロックバックステッピングフレームワークにより、多層梁に対して任意の高速安定化（ユーザー定義の減衰率を有する指数的減衰）を達成すること。
• 指定された減衰率とカーネル計算を伴う2層梁における数値シミュレーションを通じて、制御器の有効性を実証すること。

提案手法

• N層ティモシェンコ梁モデルをRiemann変換により、$(m+n)$個の双曲型PIDEと$m$個のODEを有する1次元の双曲型PIDE-ODE系に変換する。
• 各ブロック内での状態が同一の輸送速度を持つことから、システムを等速的ブロックに対角化することで、ブロックバックステッピング設計を構築する。
• 元のシステムを所望の安定性特性を有するターゲットシステムに写像する、ブロック構造を有するボルテラ型変換を構築する。
• 三角領域を有する48個の結合されたカーネル方程式系を導出し、ブロック構造に起因するカーネルの不連続性を含む。これをべき級数法を用いて解く。
• 境界での変換カーネル値を用いて境界フィードバック制御器を設計し、各層の端部における力およびモーメントの独立した駆動を実現する。
• 初期ゲイン行列$\boldsymbol{\tilde{\theta}}(0)$を用いて設定された$C_2 = 6$の減衰率を満たすように、変換がターゲットシステムの安定性条件を満たすことを確認することで、閉ループ安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の状態が同じ輸送速度を持つシステムに対して、バックステッピング制御をどのように一般化できるか？
• RQ2 ブロックバックステッピングフレームワークは、制御不能な境界でアンチダンピングおよびアンチスティフネスを有するN層ティモシェンコ梁を安定化できるか？
• RQ3 Riemann変換は、多層ティモシェンコ梁へのバックステッピングの適用をどのように可能にするか？
• RQ4 制御器パrameterの調整により、このようなシステムでどのようにして任意の高速安定化を達成できるか？
• RQ5 等速的システムのカーネル方程式を解く際に生じる数値的課題は何か？そしてそれらはどのように解決できるか？

主な発見

• ブロックバックステッピング法により、制御不能な境界でアンチダンピングおよびアンチスティフネスを有するN層ティモシェンコ梁が正常に安定化され、原点の$L^2$安定性が達成された。
• 閉ループ系はユーザーが定義した減衰率を有する指数的減衰を示す。$\boldsymbol{\tilde{\theta}}(0)$に特定の値を設定することで、$C_2 = 6$の減衰率が達成された。
• 数値シミュレーションにより理論的結果が確認された：オープンループ状態は発散するが、閉ループ状態は時間経過とともにゼロに収束する。
• 各$i,j = 1,2,3,4$について、ゲインカーネル$K_{ij}(1,y)$および$L_{ij}(1,y)$が計算され、ブロック構造に起因する直線に沿った不連続性を有することが示された。これにより、定義域の分割が必要となる。
• 制御器は各層の境界での力およびモーメントの独立した駆動を必要とし、これは高速安定化に不可欠であり、単一の共通アクチュエータでは達成できない。
• 変換カーネル行列$\boldsymbol{\tilde{\theta}}(1)$は、特定の要素を有する4×4行列として計算され、制御器設計の実現可能性が裏付けられた。