[論文レビュー] Block diagonalization for algebra's associated with block codes

Dion Gijswijt|ArXiv.org|Oct 23, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、特に $Σ^n(\mathcal{B})$ の形をとる行列 $*$-代数に適用可能な、計算効率の良いブロック対角化手法を提示する。ここで $Σ^n(\mathcal{B})$ は、行列 $*$-代数 $Σ$ の対称テンソル冪である。対称群の表現論と $Σ$ の既知のブロック対角化を活用することで、この手法は $Σ = Σ^n(\mathcal{B})$ のブロック対角化を多項式時間で構成でき、符号理論の応用における半定形計画法（SDP）の複雑さを顕著に低減する。

ABSTRACT

For a matrix *-algebra B, consider the matrix *-algebra A consisting of the symmetric tensors in the n-fold tensor product of B. Examples of such algebras in coding theory include the Bose-Mesner algebra and Terwilliger algebra of the (non)binary Hamming cube, and algebras arising in SDP-hierarchies for coding bounds using moment matrices. We give a computationally efficient block diagonalization of A in terms of a given block diagonalization of B, and work out some examples, including the Terwilliger algebra of the binary- and nonbinary Hamming cube. As a tool we use some basic facts about representations of the symmetric group.

研究の動機と目的

• 符号理論に現れる行列 $*$-代数の計算的に効率の良いブロック対角化法の開発、特に対称群の作用に対して不変であるような代数について。
• ブロック対角化による対称性の活用を通じて、符号の境界を求めるために用いられる半定形計画法（SDP）の複雑さの低減。
• 与えられた $Σ$ のブロック対角化から、$\mathrm{Sym}^n(\mathcal{B})$ の明示的で多項式時間のアルゴリズムによるブロック対角化の提供。
• $\mathcal{B}$ が有理数体 $\mathbb{Q}$ や実数体 $\mathbb{R}$ 上に定義されている場合、その結果として得られるブロック対角化が、有理数の平方根を除いて、$\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$ 上に定義されることの保証。
• 特に非二進数ハミングスキームのテルウィルゲル代数やボーズ＝メスナー代数を含む、符号理論の主要な代数への応用。

提案手法

• 本手法は、対称群 $S_n$ の表現論を用いて、対称テンソル冪 $\mathrm{Sym}^n(\mathcal{B})$ を既約成分に分解する。
• Young対称化子とシュール＝ウェイドルの双対性を介して、既知の $\mathcal{B}$ のブロック対角化を昇格させることで、$\mathcal{A} \to \bigoplus_i \mathbb{C}^{p_i \times p_i}$ の $*$-同型写像 $\phi$ を構成する。
• ブロック構造は、$\mathcal{B}^{\otimes n}$ が $S_n$ の既約表現に分解されることに起因し、対称部分空間 $\mathrm{Sym}^n(\mathcal{B})$ は自明表現に対応する。
• 係数の計算には、特徴指標理論と内積の公式から導かれる二項係数および多項係数の式を利用する。
• もし $\mathcal{B}$ が $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$ 上に定義されている場合、結果として得られるブロック対角化も、有理数の平方根を除いて $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$ 上に定義されることが保証される。
• 明示的な式が $\mathcal{A}$ のブロック対角化について導出されており、ブロック成分は多項係数と元の代数 $\mathcal{B}$ のパラメータを用いて表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列 $*$-代数 $\mathcal{B}$ のブロック対角化を、計算的に効率の良い方法で $\mathrm{Sym}^n(\mathcal{B})$ に持ち上げることは可能か？
• RQ2 対称群 $S_n$ の表現論は、符号理論における行列代数の対称テンソル冪の分解にどのように寄与するか？
• RQ3 $\mathcal{B}$ のサイズと $n$ に対して、$\mathrm{Sym}^n(\mathcal{B})$ のブロック対角化を多項式時間で計算可能か？
• RQ4 $\mathcal{B}$ が $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$ 上に定義されている場合、ブロック対角化が代数的構造（例えば、有理数性や実数性）をどのように保っているか？
• RQ5 この手法は、誤り訂正符号の境界を導出するために用いられる半定形計画法のサイズをどの程度低減するか？

主な発見

• 与えられた $\mathcal{B}$ のブロック対角化から、$\mathcal{A} = \mathrm{Sym}^n(\mathcal{B})$ のブロック対角化を多項式時間で計算可能であり、符号理論における効率的なSDP低減を可能にする。
• 本手法は、正定値性と同型構造を保つ $*$-同型写像 $\psi: \mathcal{A} \to \bigoplus_i \mathbb{C}^{p_i \times p_i}$ を生成する。
• 二進数ハミング立方体に対して、本手法はシュリーヴァーが以前に得たテルウィルゲル代数のブロック対角化を再現し、一貫性を確認する。
• $q \geq 3$ の非二進数ハミングスキームに対して、本手法はテルウィルゲル代数 $\mathcal{A}_{q,n}$ のブロック対角化を提供し、[1] で知られている結果と一致する。ブロック成分の明示的式も得られる。
• 得られるブロック対角化は代数的構造を尊重する：$\mathcal{B}$ が $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}$ 上に定義されている場合、$\mathcal{A}$ も有理数の平方根を除いて同様に定義される。
• ブロック分解は、$w = 0$ から $n$ までインデックスが付く分割の直和として明示的に与えられ、ブロック成分は多項係数と $\mathcal{B}$ のパラメータによって決定される。