[論文レビュー] Blocking unions of arborescences

Attila Bernáth, Gyula Pap|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有向グラフにおけるすべての最小コストk-ユニオン・ラバースセンスをブロックする多項式時間アルゴリズムを提示する。目的は、すべての最適構造を破壊する最小重みの弧の集合を見つけることである。この解決策は、インソリッド集合のヘリィ性質と代表木データ構造を活用し、頂点の部分分割を効率的に探索することで、コスト関数と重み関数がともに一様である場合に多項式時間の計算量を達成する。

ABSTRACT

Given a digraph $D=(V,A)$ and a positive integer $k$, a subset $B\subseteq A$ is called a extbf{$k$-union-arborescence}, if it is the disjoint union of $k$ spanning arborescences. When also arc-costs $c:A o \mathbb{R}$ are given, minimizing the cost of a $k$-union-arborescence is well-known to be tractable. In this paper we take on the following problem: what is the minimum cardinality of a set of arcs the removal of which destroys every minimum $c$-cost $k$-union-arborescence. Actually, the more general weighted problem is also considered, that is, arc weights $w:A o \mathbb{R}_+$ (unrelated to $c$) are also given, and the goal is to find a minimum weight set of arcs the removal of which destroys every minimum $c$-cost $k$-union-arborescence. An equivalent version of this problem is where the roots of the arborescences are fixed in advance. In an earlier paper [A. Bern\'ath and Gy. Pap, \emph{Blocking optimal arborescences}, Integer Programming and Combinatorial Optimization, Springer, 2013] we solved this problem for $k=1$. This work reports on other partial results on the problem. We solve the case when both $c$ and $w$ are uniform -- that is, find a minimum size set of arcs that covers all $k$-union-arbosercences. Our algorithm runs in polynomial time for this problem. The solution uses a result of [M. B\'ar\'asz, J. Becker, and A. Frank, \emph{An algorithm for source location in directed graphs}, Oper. Res. Lett. extbf{33} (2005)] saying that the family of so-called insolid sets (sets with the property that every proper subset has a larger in-degree) satisfies the Helly-property, and thus can be (efficiently) represented as a subtree hypergraph. We also give an algorithm for the case when only $c$ is uniform but $w$ is not. This algorithm is only polynomial if $k$ is not part of the input.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおけるすべての最小コストk-ユニオン・ラバースセンスをブロックする最小重みの弧の集合を求める問題を解くこと。
• k=1の場合の最適ラバースセンスのブロッキングに関する先行研究を、一般のk-ユニオンケースに拡張すること。
• コスト関数が一様である場合と一般の重み関数を想定したブロッキング問題のための効率的アルゴリズムを開発すること。
• kが入力に含まれる場合に、コスト関数と重み関数がともに一様であるとき、ブロッキング問題が多項式時間で解けることを確立すること。
• ブロッキング問題の理論的基盤を、ハイパーグラフ表現と部分分割最適化を用いて構築すること。

提案手法

• インソリッド集合（任意の真部分集合のインデグリーがより高い集合）のヘリィ性質を用いて、k-ユニオン・ラバースセンスの構造をモデル化する。
• 代表木を介してインソリッド集合の族を部分木ハイパーグラフとして表現し、効率的な列挙を可能にする。
• 頂点の部分分割（サイズが2からk+1の間）を対象とした貪欲な探索により、重要な弧の集合を同定する。
• 固定サイズtの部分分割における最小インデグリー重み和を計算するサブルーチン（Best-Fixed-Subpart）を適用する。
• 最小s-tカットおよびインデグリー最小化アルゴリズムをサブルーチンとして活用し、インデグリー重みを効率的に計算する。
• 部分分割サイズと弧の部分集合を繰り返し探索することで最適ブロッキング集合を求めるメインアルゴリズムを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数と重み関数がともに一様である場合に、すべての最小コストk-ユニオン・ラバースセンスをブロックする問題が多項式時間で解けるか。
• RQ2 インソリッド集合と部分分割を用いて、k-ユニオン・ラバースセンスの最小ブロッキング集合の構造的特徴づけは可能か。
• RQ3 インソリッド集合のヘリィ性質をどのように活用して、ブロッキング問題のための効率的アルゴリズムを設計できるか。
• RQ4 kが固定でない場合、コスト関数が一様であるときのブロッキング問題の計算量的複雑度はいかほどか。
• RQ5 この問題が、インソリッド集合の代表木上の最小重み部分分割問題に還元可能か。

主な発見

• 本稿では、コスト関数と重み関数がともに一様である場合に、すべてのk-ユニオン・ラバースセンスをブロックする多項式時間アルゴリズムを提示する。計算量はO(mk²(nk+1m log(n²/m) + n⁴m))である。
• 解決策は、インソリッド集合族の代表木による効率的表現に依存しており、これはインソリッド集合のヘリィ性質のおかげである。
• サブルーチンであるBest-Fixed-Subpartは、固定サイズtの部分分割における最小重みインデグリー和をO(nt−1HO(n,m))時間で計算する。
• 最適ブロッキング集合は、すべてのk-ユニオン・ラバースセンスと交差しなければならず、このような集合は、2 ≤ |X| ≤ k+1を満たす部分分割Xのインエッジからすべてを除き、k(|X|−1)−1本の弧を残すことで得られる。
• アルゴリズムは正しく、なぜならすべての最適ブロッキング集合がこのような部分分割に対応しており、アルゴリズムがすべての可能な構成を網羅的にチェックするからである。
• kが入力に含まれない場合には計算時間がnとmに関して多項式的になるが、kが入力に含まれる場合には指数的になるが、コストcと重みwがともに一様である限り、依然として多項式的である。