[論文レビュー] Blow-up in the Parabolic Scalar Curvature Equation

Brian Smith|arXiv (Cornell University)|May 25, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、 warped product 多様体 $[r_0, r_1) \times \Sigma$ 上の放物型スカラー曲率方程式の有限時刻 blow-up 解を調査し、適切な条件下—特に、解が自明な場合と一致するレートで blow-up する場合に—得られる計量 $g = u^2 dr^2 + r^2 \gamma$ が、$[r_0, r_1] \times \Sigma$ 上で $C^0$ 計量に連続的に拡張され、$r = r_1$ で完全測地的境界をもつことを示している。主な貢献は、blow-up が発生しても滑らかに拡張可能であるための十分条件を確立したことにある。

ABSTRACT

The extit{parabolic scalar curvature equation} is a reaction-diffusion type equation on an $(n-1)$-manifold $Σ$, the time variable of which shall be denoted by $r$. Given a function $R$ on $[r_0,r_1) imesΣ$ and a family of metrics $γ(r)$ on $Σ$, when the coefficients of this equation are appropriately defined in terms of $γ$ and $R$, positive solutions give metrics of prescribed scalar curvature $R$ on $[r_0,r_1) imesΣ$ in the form \[ g=u^2dr^2+r^2γ.\] If the area element of $r^2γ$ is expanding for increasing $r$, then the equation is parabolic, and the basic existence problem is to take positive initial data at some $r=r_0$ and solve for $u$ on the maximal interval of existence, which above was implicitly assumed to be $I=[r_0,r_1)$; one often hopes that $r_1=\infty$. However, the case of greatest physical interest, $R>0$, often leads to blow-up in finite time so that $r_1

研究の動機と目的

• 幾何的フローおよび所定の曲率問題の文脈において、解が有限時刻に blow-up する場合の放物型スカラー曲率方程式の解の挙動を理解すること。
• 解 $u \to \infty$ であっても、計量 $g = u^2 dr^2 + r^2 \gamma$ が $r = r_1$ で $C^0$ 計量として連続的に拡張可能であるための十分条件を特定すること。
• blow-up が自明な場合と一致するレートで発生する場合、外側境界 $\Sigma_{r_1}$ が完全測地的であることを確立すること。
• 自明な blow-up 案の一般化として、事前推定および変数変換を用いて非定数解に対する結果を得ること。

提案手法

• 計量 $\gamma(r)$ が $r$ に依存しない場合、変数変換を用いて放物型スカラー曲率方程式をより取り扱いやすい形に変形し、反応拡散型方程式に簡略化する。
• 最大原理および比較法を用いて、$[r_0, r_1)$ 上の正の解 $u(r)$ の blow-up 挙動を分析する。
• 補助関数 $\omega = \lim_{r \to r_1} u \sqrt{(r_1/r)^{n-2} - 1}$ を導入し、これにより blow-up レートを捉え、計量の $C^0$ 拡張可能性を保証する。
• 変数変換 $\tilde{r} = \tilde{r}_0 + \int_{r_0}^r u \, dr$ を適用し、計量を $g = d\tilde{r}^2 + r^2 \gamma$ の形に変換することで、境界拡張の滑らかさが明らかになる。
• $\chi$ の極限を用いて $\Sigma_{r_1}$ の第二基本形式を計算し、それが消えることを示し、完全測地的であることを証明する。
• 曲線短縮フローおよび力学系の既知の結果を応用し、$\Sigma = \mathbb{T}^2$ および $\Sigma = \mathbb{S}^2$ 上で非自明な blow-up 解の例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解 $u$ が有限時刻 $r_1$ で blow-up するが、計量 $g = u^2 dr^2 + r^2 \gamma$ が $r = r_1$ で連続的に拡張可能となるための条件は何か？
• RQ2 blow-up 挙動が、$u \to \infty$ であっても、結果として得られる計量が $r = r_1$ で $C^0$ 連続性を保つように特徴付けられるか？
• RQ3 blow-up が自明な場合と一致する臨界レートで発生する場合、外側境界 $\Sigma_{r_1}$ は完全測地的か？
• RQ4 非自明な blow-up 解は、$\mathbb{T}^2$ や $\mathbb{S}^2$ のようなコンパクト多様体上でどのように構成できるか？

主な発見

• もし $f = r^2 R / 2 - \bar{R}/2 > 0$ かつ非減少であり、$u$ が自明な場合と同程度以上に速く $r_1$ で blow-up するならば、$\lim_{r \to r_1} u \sqrt{(r_1/r)^{n-2} - 1}$ は存在し、$\Sigma$ 上の正の $C^\infty$ 関数 $\omega$ である。
• 計量 $g = \frac{\omega^2}{(r_1/r)^{n-2} - 1} dr^2 + r^2 \gamma$ は、$[r_0, r_1] \times \Sigma$ 上で $C^0$ 計量として連続的に拡張可能である。
• $\Sigma_{r_1}$ の第二基本形式は消えるため、境界は完全測地的である。
• 自明な場合の解 $u(r)$ は明示的に $u(r) = 1 / \sqrt{c_0 \left( (r_1/r)^{n-2} - 1 \right)}$ と与えられ、$c_0 = \frac{2f_0}{(n-1)(n-2)}$ であり、$r = r_1$ で blow-up する。
• $\mathbb{T}^2$ 上では曲線短縮フローの解を用いて非自明な blow-up 解が存在し、$\mathbb{S}^2$ 上では分岐理論および力学系を用いて同様の解が得られる。
• 変換 $\tilde{r} = \tilde{r}_0 + \int_{r_0}^r u \, dr$ を適用すると計量は $g = d\tilde{r}^2 + r^2 \gamma$ に変換され、$C^0$ 拡張可能性および $r_1$ における幾何的正則性が確認される。