[論文レビュー] Blow-up of solutions of critical elliptic equations in three dimensions

Rupert L. Frank, Tobias König+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 27被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、臨界的ポテンシャル $a$ を持つ3次元の臨界楕円型方程式の正の解について、正確な爆発レートと集中点の位置を確立し、BrézisとPeletierの予想を確認する。非退化性条件のもとで、方程式 $-\Delta u + a u = 3u^{5-\varepsilon}$ および $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$ の解が、正則部分グリーン関数の対角 $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ の零点で正確に集中することを証明し、爆発レートは $\varepsilon^{-1/2}$ である。

ABSTRACT

We describe the asymptotic behavior of positive solutions $u_\epsilon$ of the equation $-\Delta u + au = 3\,u^{5-\epsilon}$ in $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ with a homogeneous Dirichlet boundary condition. The function $a$ is assumed to be critical in the sense of Hebey and Vaugon and the functions $u_\epsilon$ are assumed to be an optimizing sequence for the Sobolev inequality. Under a natural nondegeneracy assumption we derive the exact rate of the blow-up and the location of the concentration point, thereby proving a conjecture of Br\'ezis and Peletier (1989). Similar results are also obtained for solutions of the equation $-\Delta u + (a+\epsilon V) u = 3\,u^5$ in $\Omega$.

研究の動機と目的

• 1989年にBrézisとPeletierが提示した、非ゼロで臨界的ポテンシャル $a$ を持つ3次元の臨界楕円型方程式の解の爆発挙動に関する第3の予想を解決すること。
• 臨界的ポテンシャル $a$ の存在下でのソボレフ不等式の最小化系列の正確な漸近的挙動（特に爆発レートと集中点）を確立すること。
• 方程式 $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$ の解析を拡張し、同じ非退化性条件下で類似の爆発結果を証明すること。
• 集中集合が、$-\Delta + a$ に付随するグリーン関数の正則部分の対角 $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ の零点集合として特徴付けられることを示すこと。
• 非退化性仮定のもとで、正確な爆発レート $\varepsilon^{-1/2}$ とその位置が、漸近展開と楕円型正則性理論を用いて厳密に証明されること。

提案手法

• 解の挙動を $\varepsilon \to 0$ の際に分析するため、グリーン関数の漸近展開とその正則部分 $H_a(x,y)$、特に対角 $x=y$ の近傍での展開を用いる。
• 一致する漸近展開法と、最小化系列と仮定された解 $u_{\varepsilon}$ のための鋭い点ごとの推定を適用する。
• 爆発プロファイルのモデルとして、Aubin-Talentiのバブル解 $U_{x,\lambda}(y) = \lambda^{1/2}/(1 + \lambda^2|y-x|^2)^{1/2}$ の明示的形を用いる。
• 臨界定義の下で $a$ の臨界性を用いる。$S(a) = \inf_{z \in H^1_0(\Omega)} \frac{\int_\Omega (|\nabla z|^2 + a z^2)}{\left(\int_\Omega z^6\right)^{1/3}}$ として定義され、$S(a) = S$（鋭いソボレフ定数）を満たす。
• 楕円型正則性理論を用いて、関数 $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ が $C^2$-滑らかであることを証明し、これが集中集合を特徴付けるために不可欠であることを示す。
• バブル解の周囲における摂動解析を実施し、$u_\varepsilon^5$ や $u_\varepsilon^4 B_\lambda u_\varepsilon$ などの積分における一次項を、$\lambda^{-1/2}$ のべき級数で精密に展開する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 内で定義された方程式 $-\Delta u + a u = 3u^{5-\varepsilon}$ の正の解 $u_\varepsilon$ が、ソボレフ不等式の最小化系列を満たすと仮定したとき、$\varepsilon \to 0$ の際の正確な爆発レートは何か？
• RQ2 $u_\varepsilon$ の集中は $\Omega$ 内でどこに起こるのか？ それは正則部分グリーン関数 $H_a(x,x)$ の零点集合に一致するか？
• RQ3 方程式 $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$ のように、ポテンシャルに $\varepsilon V$ の摂動が加わった場合、$a$ のみのケースと比較して爆発挙動はどのように変化するか？
• RQ4 BrézisとPeletierが3次元の臨界的 $a$ に対して提起した、爆発プロファイルと集中位置に関する予想は、厳密に確認可能か？
• RQ5 関数 $\varphi_a$ の零点集合における非退化性条件（特に $\nabla \varphi_a(x_0) \neq 0$ および $\text{Hess}\, \varphi_a(x_0)$ が非退化）が、爆発プロファイルの一意性と正確性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 方程式 $-\Delta u + a u = 3u^{5-\varepsilon}$ の解 $u_\varepsilon$ の爆発レートは正確に $\varepsilon^{-1/2}$ であり、集中点は関数 $\varphi_a(x_0) = 0$ を満たす点 $x_0 \in \Omega$ に位置する。
• 解は正しく $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ の零点集合 $N_a = \{x \in \Omega : \varphi_a(x) = 0\}$ に集中する。
• 摂動項 $\varepsilon V$ を持つ方程式 $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$ に対しても、爆発レートは $\varepsilon^{-1/2}$ のままであり、集中は同じ零点集合 $N_a$ に起こる。ただし $a$ が臨界的で、非退化性条件が成り立つ必要がある。
• $\varphi_a(x)$ は $\Omega$ 上で $C^2$-滑らかであり、その零点集合 $N_a$ は正則部分グリーン関数が消える点を正確に特徴付ける。
• 解 $u_\varepsilon$ の集中点近傍における一次漸近展開は、$\lambda \sim \varepsilon^{-1/2}$ を用いたAubin-Talentiのバブル $U_{x_0,\lambda}$ に支配され、集中プロファイルは $\varphi_a$ の $x_0$ におけるヘッセ行列によって決定される。
• 非退化性条件（特に $x_0$ における $\nabla \varphi_a(x_0) \neq 0$ および $\text{Hess}\, \varphi_a(x_0)$ が非退化）により、爆発は孤立しており、レートは鋭いものであることが保証される。