[論文レビュー] Blow up profiles for a reaction-diffusion equation with critical weighted reaction

Razvan Gabriel Iagar, Ariel Sánchez|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、反応拡散方程式 $ u_t = (u^m)_{xx} + |x|^\sigma u^m $ における自己相似的爆発型の分類を行い、$ \sigma > 0 $ が小さい場合、有限の点に界面を持つコンパクトな台を持つ複数の型が存在するが、$ \sigma $ が大きい場合にはそれらの型が存在しないことを示している。主な結果は、重みの影響によって存在の遷移が鋭くなることであり、任意の $ \sigma > 0 $ に対して、全空間にわたる爆発型は存在しない。

ABSTRACT

We classify the blow up self-similar profiles for the following reaction-diffusion equation with weighted reaction $$ u_t=(u^m)_{xx} + |x|^{\sigma}u^m, $$ posed for $(x,t)\in eal imes(0,T)$, with $m>1$ and $\sigma>0$. In strong contrast with the well-studied equation without the weight (that is $\sigma=0$), on the one hand we show that for $\sigma>0$ sufficiently small there exist \emph{multiple self-similar profiles with interface} at a finite point, more precisely, given any positive integer $k$, there exists $\delta_k>0$ such that for $\sigma\in(0,\delta_k)$, there are at least $k$ different blow up profiles with compact support and interface at a positive point. On the other hand, we also show that for $\sigma$ sufficiently large, the blow up self-similar profiles with interface \emph{cease to exist}. This unexpected balance between existence of multiple solutions and non-existence of any, when $\sigma>0$ increases, is due to the effect of the presence of the weight $|x|^{\sigma}$, whose influence is the main goal of our study. We also show that for any $\sigma>0$, there are no blow up profiles supported in the whole space, that is with $u(x,t)>0$ for any $x\in eal$ and $t\in(0,T)$.

研究の動機と目的

• 重み $ |x|^\sigma $ が $ m = p $ の反応拡散方程式における爆発行動に与える影響を理解すること。非重み付きの場合と対比する。
• 方程式 $ u_t = (u^m)_{xx} + |x|^\sigma u^m $ における自己相似的爆発型を分類すること。特に、コンパクトな台と有限の点における界面を持つ型に注目する。
• パrameter $ \sigma $ に応じて、界面を持つ良好な型の存在と非存在を確立し、臨界閾値を特定すること。
• 任意の $ \sigma > 0 $ に対して、全実数直線上で正であるような爆発型は存在しないことを証明し、全空間支持の可能性を除外すること。
• 関連する常微分方程式の位相空間構造を解析し、$ \xi = 0 $ の近傍および界面点における解の挙動を特定すること。

提案手法

• 自己相似型解 $ u(x,t) = (T - t)^{-\alpha} f(\xi) $、$ \xi = |x|(T - t)^\beta $ を用いて、偏微分方程式を関数 $ f $ のための常微分方程式に還元する。
• 自己相似型を支配する常微分方程式 $ (f^m)''(\xi) - \frac{1}{m-1}f(\xi) + \xi^\sigma f^m(\xi) = 0 $ を導出する。
• 解の $ \xi = 0 $ 近傍および $ f(\eta) = (f^m)'(\eta) = 0 $ となる界面点における挙動を、等価な1階系への位相空間解析を用いて研究する。
• 比較論的議論とエネルギー型推定を用いて、位相空間における双曲線 $ (m-1)Y + \sigma X = 0 $ との最初の交点を評価する。
• 原点から前向きに、界面点から後ろ向きにシューティングを行うことで、解が接続可能な $ \xi $ の範囲を推定する。
• 定量的な閾値 $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ を確立し、この値を超えると前向きと後ろ向きのシューティング軌道が一致しないため、界面型の非存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $ |x|^\sigma $ の存在が、有限の点に界面を持つコンパクトな台を持つ自己相似的爆発型の存在と多様性に与える影響は何か？
• RQ2 自己相似的型に界面が存在しなくなる臨界値 $ \sigma $ は何か？この閾値は $ m $ にどのように依存するか？
• RQ3 なぜ $ \sigma $ が小さくなるとその型の数が増加するのか？この多様性の背後にあるメカニズムは何か？
• RQ4 自己相似的爆発型が $ \mathbb{R} $ 全体で正であるものが存在可能か？もし不可能ならば、その理由は何か？
• RQ5 パラメータ $ \sigma $ の変化に伴い、関数 $ f $ を支配する常微分方程式の位相空間構造はどのように変化するか？これにより解の挙動にどのような意味が生じるか？

主な発見

• 任意の $ \sigma > 0 $ に対して、全実数直線上で正である自己相似的爆発型は存在せず、全空間にわたる爆発型は存在しない。
• 十分に小さな $ \sigma $ に対して、すなわち任意の $ k \in \mathbb{N} $ に対して $ \sigma \in (0, \delta_k) $ ならば、少なくとも $ k $ 個の異なる自己相似的型が、コンパクトな台と正の点における界面を持つ。
• $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ のとき、界面を持つ自己相似的型は存在しない。これは、重みの影響によって解の構造に鋭い遷移が生じることを示している。
• 原点からシューティングする場合、位相空間における臨界双曲線との最初の交点は $ \xi \leq \xi_+ = \left[ \frac{4m^2(m+1)}{(2m+1)(m-1)^3} \right]^{1/(\sigma+2)} $ で発生する。
• 界面点からシューティングする場合、後退時間における最後の交点は $ \xi \geq \xi_- = \left[ \frac{(m+1)\sigma^2}{2m(m-1)^3} \right]^{1/(\sigma+2)} $ で発生する。
• $ \xi_- > \xi_+ $ となるのは $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ のときであり、このとき前向きと後ろ向きの軌道は一致できないため、大 $ \sigma $ の場合に界面型が存在しないことが証明される。