[論文レビュー] Blow-up solutions of nonlinear elliptic equations in R^n with critical exponent

Man Chun Leung|ArXiv.org|Feb 23, 2002

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上で $K$ が 1 に限りなく近い状態の下で、臨界定数非線形楕円型方程式 $\Delta u + n(n-2)Ku^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ の滑らかで正の解を構成し、原点付近でゆっくりとした減衰を示さない blown-up 解の存在を示している。主な結果は、$n > 4$ の場合に C.-S. Lin の予想および Taliaferro の予想に対して反例を提示し、$K$ がほぼ定数であってもこのような blown-up 解が存在することを示している。

ABSTRACT

For an integer $n \ge 3$ and any positive number $ε$ we establish the existence of smooth functions K on $R^n \setminus \{0 \}$ with $|K - 1| \le ε$, such that the equation $Δu + n (n - 2) K u^{{n + 2}\over {n - 2}} = 0$ in $R^n \setminus \{0 \}$ has a smooth positive solution which blows up at the origin (i.e., u does not have slow decay near the origin). Furthermore, we show that in some cases K can be extended as a Lipschitz function on ${\R}^n.$ These provide counter-examples to a conjecture of C.-S. Lin when n > 4, and Taliaferro's conjecture.

研究の動機と目的

• 臨界定数楕円型方程式 $\Delta u + n(n-2)Ku^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ が $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上で $K$ が 1 に近い状態の下で、滑らかで正の解が存在するかを調査すること。
• このような解が原点付近でゆっくりとした減衰を示さない場合、減衰行動に関する予想と矛盾することを特定すること。
• C.-S. Lin の予想（$K$ が Hölder 継続的であると、ゆっくりとした減衰が保証される）および Taliaferro の予想（有界な $K$ の下で減衰が保証される）に対する反例を提示すること。
• $K$ が $\mathbb{R}^n$ 上でリプシッツ関数として拡張可能であるかを検討すること。
• 特に $n > 4$ の高次元において、$K$ が恒等的に 1 でない場合の解の漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• キルビン変換における周期性と対称性を活用し、修正されたデローニー＝フラー型解と標準的なバブルを重ね合わせることで blown-up 解を構成する。
• 原点付近の小さな球上でカットアンドペーストの接着技術を用い、解の中心をずらしてゆっくりとした減衰を防ぐ。
• 漸近的展開と比較推定を用いて、修正された解と標準的バブルとの差を制御し、$|K - 1| \leq \varepsilon$ を保証する。
• エネルギー推定と解の差 $v_T$ と $v_s$ に対する $L^\infty$ 界を用い、得られた $K$ が 1 に近く滑らかであることを示す。
• 特定の条件下で、$K(0) = 1$ と定義することで、$\mathbb{R}^n$ 上で $K$ をリプシッツ関数として拡張可能であることを確立する。
• 微分不等式と $v_T$ および $v_s$ の導関数の境界を用いて、曲率関数 $K$ の誤差を制御し、$|\breve{K}'(t)| \leq C(D)\eta_T^2$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に小さい $\varepsilon > 0$ に対して $|K - 1| \leq \varepsilon$ を満たす滑らかな $K$ の下で、臨界定数楕円型方程式に対して blown-up 解が存在するか？
• RQ2 $K$ がほぼ定数であっても、解が原点付近でゆっくりとした減衰を示さない場合、$K$ の正則性に関する減衰予想と矛盾するか？
• RQ3 このような blown-up 解は、$K$ が $\mathbb{R}^n$ 上でリプシッツ関数として拡張可能であるか？
• RQ4 C.-S. Lin の予想（$K$ が Hölder 継続的であればゆっくりとした減衰が保証される）は $n > 4$ の場合に正しいか？
• RQ5 標準的バブルと周期的デローニー型解の重ね合わせによって、解の漸近的挙動を制御可能か？

主な発見

• 論文は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $|K - 1| \leq \varepsilon$ を満たす滑らかで正の解を $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上で構成し、原点で blown-up 行動を示すことを示している。
• C.-S. Lin の予想（Hölder 継続的 $K$ ならばゆっくりとした減衰が保証される）に対して反例を提示し、$n > 4$ の場合にそのような減衰が成立しないことを示している。
• Taliaferro の予想に対して反例を構成し、$K$ が正の定数で有界であり、$b/a < 2^{2/(n-2)}$ を満たすにもかかわらず、依然として blown-up することを示している。
• 特定の幾何的構成のもとで、$K(0) = 1$ と定義することで、$\mathbb{R}^n$ 上で $K$ をリプシッツ関数として拡張可能である。
• 構成法により、曲率関数 $K$ は滑らかで、$\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上で $|K - 1| \leq \varepsilon$ を満たし、$L^\infty$ ノルムにおいて 1 に近い。
• この手法により、$t \in [D, 2D]$ に対して $|\breve{K}'(t)| \leq C(D)\eta_T^2$ が得られ、$K$ がリプシッツ連続でかつ導関数が制御可能であることが示される。