[論文レビュー] Blow ups and blow downs of quasitoric orbifolds and toric varieties

Koushik Brahma, Soumen Sarkar+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、単純な多面体とR特徴関数によって定義されるクォズィトーリックオルビフォールドの吹き上げおよび吹き下げの操作を調査し、やや緩い条件下で、これらの操作が整数コホモロジーの torsion-free 性質を保つことを示している。また、多面体のワッジ構成が特定の吹き下げの特殊ケースであることを確立し、整数コホモロジーに (p-)torsion を持たない無限族のクォズィトーリックオルビフォールドを構成している。

ABSTRACT

In this paper, we recall the concept of the retraction sequence of simple polytope $Q$ and discuss the effects of blow ups and blow downs on its retraction sequences. We introduce new quasitoric orbifolds by the blow ups and blow downs of a quasitoric orbifold $X(Q,\lambda)$ where $\lambda$ is an $\mathcal{R}$-characteristic function defined on the facets of the simple polytope. Then we show that under mild hypothesis, no new torsion arises in the integral homology/cohomology of blow ups and blow downs of a quasitoric orbifold. We also show that polytopal wedge construction is a particular case of blow down. This article provides an infinite collection of quasitoric orbifolds with no ($p$-)torsion in their integral cohomology.

研究の動機と目的

• 単純多面体の再帰列に対する吹き上げおよび吹き下げの影響を分析すること。
• R特徴関数を用いた X(Q,λ) における吹き上げおよび吹き下げ操作を通じて、新たなクォズィトーリックオルビフォールドを構成すること。
• このようなオルビフォールドの整数コホモロジーに新たな torsion 要素が生じない条件を確立すること。
• 多面体のワッジ構成が、吹き下げ操作の特殊ケースであることを示すこと。
• 整数コホモロジーに torsion が存在しない無限族のクォズィトーリックオルビフォールドを生成すること。

提案手法

• 単純多面体 Q の再帰列を用いて、吹き上げおよび吹き下げ操作による位相的変化を分析する。
• 多面体 Q の面にわたる R特徴関数 λ を適用し、クォズィトーリックオルビフォールド X(Q,λ) を定義する。
• 多面体の頂点または面における吹き上げおよび吹き下げ操作を適用し、新たなオルビフォールドを構成する。
• これらの操作が整数コホモロジーに与える影響を分析し、特に torsion 要素に注目する。
• やや緩い仮定の下で、これらの操作の後もコホモロジーが torsion-free であることを示す。
• 多面体のワッジ構成が、特定の吹き下げプロセスの特殊例として生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吹き上げおよび吹き下げは、単純多面体の再帰列にどのように影響を与えるか？
• RQ2 クォズィトーリックオルビフォールドの吹き上げおよび吹き下げが、整数コホモロジーの torsion-free 性質を保つための条件は何か？
• RQ3 多面体のワッジ構成は、吹き下げ操作の特殊ケースとして解釈可能か？
• RQ4 これらの操作を通じて、コホモロジーに (p-)torsion が存在しない無限族のクォズィトーリックオルビフォールドはどのように生成できるか？
• RQ5 R特徴関数 λ は、これらの変換の下で、位相的不変量にどのように影響を与えるか？

主な発見

• やや緩い仮定の下で、クォズィトーリックオルビフォールドの吹き上げおよび吹き下げ操作は、整数コホモロジーの torsion-free 性質を保つ。
• 多面体のワッジ構成は、特定の吹き下げ操作の特殊ケースとして同定される。
• 整数コホモロジーに (p-)torsion が存在しないクォズィトーリックオルビフォールドの無限集合が構成された。
• 元の単純多面体の再帰列が、吹き上げおよび吹き下げ操作によって制御された方法で影響を受けることが示された。
• これらの操作の後も、R特徴関数 λ は位相的構造と整合性を保つ。
• torsion-free コホモロジーを持つ既知のクォズィトーリックオルビフォールドのクラスが拡張された。