[論文レビュー] Blow-ups and resolutions of strong Kähler with torsion metrics

Anna Fino, Адриано Томассини|ArXiv.org|Apr 2, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、複素構造の微小変形、吹き上げ、解消の下での強いKähler構造（strong KT）の挙動を調査する。強力KT計量に関するMiyauka型の拡張定理を確立し、点を除いた複素多様体が強力KT計量をもつならば、全多様体も強力KT計量をもつことを証明する。主な貢献は、強力KT計量をもつ複素軌道多様体が繰り返しの吹き上げを用いて強力KT解消をもつことを示し、新たなコンパクトで単連結な強力KT多様体を生み出すことにある。

ABSTRACT

On a compact complex manifold we study the behaviour of strong Kähler with torsion (strong KT) structures under small deformations of the complex structure and the problem of extension of a strong KT metric. In this context we obtain the analogous result of Miyaoka extension theorem. Studying the blow-up of a strong KT manifold at a point or along a complex submanifold, we prove that a complex orbifold endowed with a strong KT metric admits a strong KT resolution. In this way we obtain new examples of compact simply-connected strong KT manifolds.

研究の動機と目的

• 複素次元 ≥3 のコンパクト複素多様体において、複素構造の微小変形の下での強力KT構造の安定性を調べること。
• 点を除いた多様体に強力KT計量が存在する場合、それが全多様体に拡張可能かどうかを調査すること。
• 強力KT多様体の複素部分多様体に沿った吹き上げが、依然として強力KT条件を保つかどうかを特定すること。
• 強力KT計量をもつ複素軌道多様体に対して、強力KT解消の存在を確立すること。
• 特異点の解消を用いて、コンパクトで単連結な強力KT多様体を構成すること。

提案手法

• 歪みを伴う標準的Hermitian接続の理論を用い、条件 ∂∂̄F = 0 を通じて強力KT計量を特徴付ける。
• 文献[1]における正の-currentおよび擬上凸-currentの結果を応用し、孤立特異点を越えて強力KT計量を拡張する。
• Hironakaの解消定理を用い、強力KT計量をもつ複素軌道多様体の有限個の吹き上げの列を構成する。
• 吹き上げおよび群作用の下での基本2次形式Fの挙動を分析し、-nilmanifold 上の有限群作用の下での不変性を示す。
• -nilmanifold 及びその商多様体における調和形式の計算を用い、Betti数を計算し、解消の位相的単純性を検証する。
• Nomizuの定理を適用し、-nilmanifold 及びその商多様体のBetti数を計算し、解消前後でのBetti数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素次元 ≥3 のコンパクト複素多様体において、複素構造の微小変形の下でも強力KT条件は保たれるか？（Iwasawa多様体で反例を示す。）
• RQ2 点を除いた複素多様体が強力KT計量をもつならば、その計量は全多様体に拡張可能か？
• RQ3 強力KT多様体を複素部分多様体に沿って吹き上げた場合、依然として強力KT多様体となるか？
• RQ4 強力KT計量をもつ複素軌道多様体は、有限個の吹き上げの列によって解消され、コンパクトな強力KT多様体が得られるか？
• RQ5 -nilmanifold 上の有限群作用から得られる強力KT軌道多様体の解消は、コンパクトで単連結な強力KT多様体をもたらすか？

主な発見

• 強力KT条件は、複素次元 ≥3 のコンパクト複素多様体において、複素構造の微小変形の下で安定でない。Iwasawa多様体で反例が示された。
• 強力KT計量に関するMiyauka型の拡張定理が成り立つ：M\{p} が強力KT計量をもてば、M も強力KT計量をもつ。
• 強力KT多様体をコンパクト複素部分多様体に沿って吹き上げても、依然として強力KT多様体のままである。
• 任意の強力KT計量をもつ複素軌道多様体は、有限個の吹き上げの列によって強力KT解消をもつ。
• 有限群作用による-nilmanifold 上の強力KT軌道多様体の解消は、Betti数が減少するコンパクトで単連結な強力KT多様体をもたらす：第一例では b₁ が 7 から 1 に、第二例では 6 から 1 に減少する。