[論文レビュー] Blowing up and down compacta with geometrically finite convergence actions of a group

Yoshifumi Matsuda, Shin-ichi Oguni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可算群の幾何的に有限な収束作用をもつコンパクトな空間について、吹き上げ（blow-up）および吹き下げ（blow-down）の特徴づけを確立する。あるコンパクトな空間が他方の吹き上げであるための必要十分条件は、最初の空間における任意の極大放物的部分群が、2番目の空間に対しても放物的であることである。主な結果は、このようなG-不変連続写像が存在するのは、周辺構造（peripheral structure）がこの包含関係を満たす場合に限ることを示しており、これにより、一つの幾何的に有限な作用から非可算個の非幾何的に有限な吹き下げを構成できる。

ABSTRACT

We consider two compacta with minimal non-elementary convergence actions of a countable group. When there exists an equivariant continuous map from one to the other, we call the first a blow-up of the second and the second a blow-down of the first. When both actions are geometrically finite, it is shown that one is a blow-up of the other if and only if each parabolic subgroup with respect to the first is parabolic with respect to the second. As an application, for each compactum with a geometrically finite convergence action, we construct its blow-downs with convergence actions which are not geometrically finite.

研究の動機と目的

• 可算群Gの幾何的に有限な収束作用をもつコンパクトな空間Xが、他方の同様のコンパクトな空間Yの吹き上げである条件を特徴づけること。
• 周辺構造（極大放物的部分群）とコンパクトな空間間のG-不変連続写像との関係を調査すること。
• 与えられた幾何的に有限な作用の吹き下げではあるが、自身は幾何的に有限でない、非可算個のコンパクトな空間を構成すること。

提案手法

• コンパクトな空間上の収束作用に関連する周辺構造（極大放物的部分群）の概念を用いる。
• 群上の相対的に双曲的構造が適切であることに等価な、幾何的に有限な収束作用の特徴づけを適用する。
• コンパクトな空間間のG-不変連続写像を用いて、吹き上げおよび吹き下げを定義する。
• G-不変写像における放物的部分群の極限集合の性質を活用し、放物的点の逆像の構造を分析する。
• G-不間連続写像が周辺構造の包含関係によって一意に定まることを用いる。
• {0,1}^Nでインデックス付けられたパラメータ族の作用を用いて、周辺構造は保たれるが力学的構造が変化する非可算個の吹き下げを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算群Gの幾何的に有限な収束作用をもつコンパクトな空間Xが、G-不変連続写像π: X → Y を持つのは、どのような場合か？ ここでYは同様に幾何的に有限な収束作用をもつ。
• RQ2 XとYの周辺構造が、このようなG-不変写像の存在を保証するための厳密な条件は何か？
• RQ3 与えられた幾何的に有限な作用の吹き下げではあるが、自身は幾何的に有限でない、非可算個のコンパクトな空間を構成できるか？
• RQ4 このようなコンパクトな空間間のG-不変写像において、放物的部分群の極限集合はどのように振る舞うか？
• RQ5 収束作用の文脈において、周辺構造が吹き上げ・吹き下げ関係を分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• G-不変連続写像π: X → Y が、幾何的に有限な収束作用をもつコンパクトな空間間で存在するための必要十分条件は、Xに関する任意の極大放物的部分群が、Yに対しても放物的であることである。
• 写像πは全射であり、周辺構造の包含関係H(X) → H(Y)によって一意に定まる。
• Yにおける有界放物的点q（その安定化部分群がH）に対し、逆像π⁻¹(q)は、HがXに作用するときの極限集合Λ(H,X)に等しい。
• 非可算個のコンパクトな距離空間の族{X_λ}_{λ∈{0,1}^ℕ}が存在し、それぞれがGの最小で非初等的な収束作用をもち、Xの吹き下げであり、周辺構造H(X)を共有する。
• 族に属する各X_λはXの吹き下げではあるが、幾何的に有限ではない。これは、幾何的有限性が吹き下げにおいて保存されないことを示している。
• この構成は、同じ周辺構造を持つが、同相でない非可算個の作用の存在に依存しており、幾何的有限性を仮定しない場合、周辺構造だけでは作用のG-同相写像による分類ができないことを示している。