[論文レビュー] Blowing-up points on l.c. K. manifolds

Victor Vuletescu|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、局所的共形ケーラー（l.c.K.）多様体の一点における吹き上げが、微分形式の曲率や partition of unity の技法を用いた代数幾何学的手法を用いて、l.c.K. 構造を保つことの新たな厳密な証明を提供する。主な結果は、Tricceri や他の研究者による以前の証明におけるギャップを解消し、吹き上げ多様体が l.c.K. 距離を備えることを確認する。

ABSTRACT

It is a classical result, due to F. Tricceri, that the blow-up of a manifold of locally conformally Kähler (l.c.K. for short) type at some point is again of l.c.K. type. However, the proof given in \cite{Tric} is somehow unclear. We give a different argument to prove the result, using "standard tricks" in algebraic geometry

研究の動機と目的

• 点における吹き上げに対する l.c.K. 構造の安定性を、Tricceri の元々の議論におけるギャップを是正する明確で厳密な証明を提供すること。
• 任意の点におけるコンパクトまたは非コンパクトな l.c.K. 多様体の吹き上げが、常に l.c.K. 型のままであることを確立すること。
• 標準的な代数幾何学的道具（例えば、正則線束、曲率形式、partition of unity）を用いて、吹き上げ多様体上に明確に定義された l.c.K. 距離を構成すること。
• 元の距離の Lee 形式が滑らかなカットオフ関数を用いて、特異除集合の近傍で消えるように変更可能であることを示し、新たな l.c.K. 距離の構成を可能にすること。

提案手法

• 標準的な幾何的手続きにより吹き上げ多様体 $\widehat{X}$ を構成する：関係式 $x_i y_j = x_j y_i$ を用いて $\widehat{U} \subset U \times \mathbb{P}^{n-1}$ を貼り合わせる。
• 局所的距離を $U_{2\varepsilon}$ 上と $U_{2\varepsilon}$ 外部でそれぞれ定義し、partition of unity $\varrho_1, \varrho_2$ を用いて $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 上のヘルミート距離 $h$ を結合する。
• canonical 接続の曲率 $\Omega_E$ を計算し、特異除集合 $E$ 沿いでは負定値であり、近傍 $U$ 外ではゼロであることを示す。
• 元の l.c.K. 距離のケーラー形式 $\omega$ を吹き上げ写像 $c: \widehat{X} \to X$ で引き戻し、$c^*(\omega)$ を得る。その後、滑らかな関数 $f$ を用いて $\omega' = e^f c^*(\omega)$ と変更し、$d\omega' = \theta' \wedge \omega'$ かつ $\theta' \equiv 0$ を $E$ の近傍で満たすようにする。
• 十分に大きな $N$ に対して、$(1,1)$-形式 $h = N\omega' - \Omega_E$ を構成し、$\omega'$ と $\Omega_E$ が補集合領域でそれぞれ消えることを利用し、$\widehat{X}$ 全体で正定値であることを証明する。
• $\theta' \wedge \Omega_E = 0$ が台が不重複であるため成り立つことを利用し、$h$ が l.c.K. 条件 $dh = \theta' \wedge h$ を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的共形ケーラー多様体の一点における吹き上げは、l.c.K. 構造を保つのか？
• RQ2 標準的な代数幾何学的道具（例えば、正則線束、曲率形式、partition of unity）を用いて、吹き上げ多様体上に明示的な l.c.K. 距離を構成できるか？
• RQ3 元の距離の Lee 形式は、滑らかなカットオフ関数を用いて特異除集合の近傍で消えるように拡張または変更可能か？
• RQ4 特異除集合上の標準的線束の曲率を用いて、l.c.K. 条件を安定化させる正定値形式を構成できるか？
• RQ5 コンパクト性の仮定の下でも、あるいは非コンパクト多様体に対しても、l.c.K. クラスの吹き上げにおける安定性は頑健か？

主な発見

• 任意の点における局所的共形ケーラー多様体の吹き上げは、局所的共形ケーラー距離を備え、l.c.K. クラスが点吹き上げに対して安定であることを確認する。
• 新しい l.c.K. 距離は $h = N\omega' - \Omega_E$ として構成され、ここで $\omega'$ は元のケーラー形式の共形変更された引き戻し、$\Omega_E$ は特異除集合バンドルの曲率である。
• $\Omega_E$ は $E$ 沿いでは負定値であり、コンパクト近傍 $U$ 外では消えるため、十分に大きな $N$ に対して $h$ は全空間で正定値である。
• 新しい距離 $h$ の Lee 形式 $\theta'$ は $E$ の近傍で消えるため、l.c.K. 条件が単純化され、$dh = \theta' \wedge h$ が全空間で成り立つ。
• 曲率形式が適切に扱われるよう、partition of unity と滑らかなカットオフ関数を用いて $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 上の局所的距離を貼り合わせる。これにより曲率形式は良好に振る舞い、半正定となる。
• 証明により、吹き上げ多様体 $\widehat{X}$ が $dh = \theta' \wedge h$ を満たすヘルミート距離 $h$ を明示的に示すことにより、$\theta'$ が閉形式で $h$ が正定値であるため、$\widehat{X}$ が l.c.K. 型であることが確立される。