[論文レビュー] Blowup for the Damped $L^{2}$-Critical Nonlinear Schrödinger Equation

Mohamad Darwich|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$d=1,2,3,4$次元における減衰項 $a>0$ を含む $L^2$-臨界非線形シュレーディンガー方程式に対して、有限時間 blowup 解の存在および安定性を確立する。質量が閾値 $ olinebreak[4] olinebreak textrm{\|Q\|_{L^2}}$ 略超えの解は、log-log 速度 $ olinebreak[4] olinebreak textrm{\|\nabla u(t)\|_{L^2}} \sim \left( \frac{\log|\log(T-t)|}{T-t} \right)^{1/2}$ で有限時間内に blowup する。この結果は、非減衰状態での log-log blowup 動的を減衰状態へ拡張するものである。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the $L^{2}$-critical damped nonlinear Schrödinger equation. We prove existence and stability of finite time blowup dynamics with the log-log blow-up speed for $\| abla u(t)\|_{L^2}$.

研究の動機と目的

• 小刻みの減衰 $a>0$ を伴う減衰項付き $L^2$-臨界非線形シュレーディンガー方程式に対して、有限時間 blowup 解の存在を確立すること。
• 従来、非減衰状態で知られていた log-log blowup 動的を、減衰状態へ拡張し、$H^1$-摂動のもとで安定性を証明すること。
• 解の $L^2$-ノルムが $\|Q\|_{L^2}$ 略超えの場合に有限時間内に blowup すること、一方 $\|u_0\|_{L^2} \leq \|Q\|_{L^2}$ の場合は全域的に有界に保たれることを示すこと。
• blowup 解の漸近的挙動を分析し、blowup 点における $L^2$-プロファイルの同定を含めること。

提案手法

• 非径対称かつ減衰項付きの状況において、非減衰状態から得られた濃縮・コンパクトネス法および $L^2$-濃縮現象を適応する。
• Merle と Raphael の非減衰 $L^2$-臨界 NLS に関する研究における log-log 制御法を用い、blowup 動的を $\lambda(t) \sim (T-t)^{1/2} / \sqrt{\log|\log(T-t)|}$ の形で仮定する。
• 初期データおよび減衰パラメータ $a$ に関して $H^1$ 上での解の連続性を根拠とした摂動的議論により、非減衰状態から減衰状態への blowup 構造の移行を実現する。
• Strichartz 評価と短時間区間における固定点法を用いて、減衰付きと非減衰付き解の差を制御し、小刻みの減衰下でも blowup の安定性を証明する。
• スケーリングパラメータ $\lambda(t)$ およびモードパラメータ $b(t)$ に対する微分不等式を導出し、エネルギーおよびバーリング型評価を用いて log-log 法則に到達する。
• blowup 時 $t \to T$ において、$u(t,x) - \lambda(t)^{-d/2} Q_{b(t)}(\cdot) e^{i\gamma(t)} \to u^*$ が $L^2$ 収束するような $L^2$-プロファイル $u^* \in L^2(\mathbb{R}^d)$ の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量が閾値 $\|Q\|_{L^2}$ 略超えの初期データに対して、$L^2$-臨界減衰付き非線形シュレーディンガー方程式で有限時間 blowup が発生するか。
• RQ2 非減衰状態で知られていた log-log blowup 速度が、小刻みの減衰 $a>0$ に対しても維持されるか。
• RQ3 減衰項が存在する状況において、blowup 動的は $H^1$-摂動のもとで安定か。
• RQ4 blowup 時に近い解の漸近的挙動はいかなるものか。また、$L^2$-プロファイルの極限が存在するか。

主な発見

• 任意の $a>0$ および十分に小さい $\delta>0$ に対して、$\|u_0\|_{L^2} = \|Q\|_{L^2} + \delta$ を満たす初期データ $u_0 \in H^1(\mathbb{R}^d)$ が存在し、その解は有限時間内に blowup する。
• blowup 速度は $\|\nabla u(t)\|_{L^2} \sim \left( \frac{\log|\log(T-t)|}{T-t} \right)^{1/2}$ を満たし、非減衰状態の log-log 法則と一致する。
• $\|u_0\|_{L^2} \leq \|Q\|_{L^2}$ を満たす解は全域的に存在し、$H^1$ 上で有界に保たれる。
• blowup 動的は $H^1$-摂動および小刻みの減衰のもとで安定であり、$(a, u_0) \mapsto u(\cdot, a, u_0)$ という解の写像は $C([0,T]; H^1)$ 上で連続である。
• blowup 時 $t \to T$ において、$u(t, \cdot) - \lambda(t)^{-d/2} Q_{b(t)}(\cdot) e^{i\gamma(t)} \to u^*$ が $L^2$ 収束するような $L^2$-プロファイル $u^* \in L^2(\mathbb{R}^d)$ が存在する。