[論文レビュー] Blowup for the nonlinear heat equation with small initial data in scale-invariant Besov norms

Lorenzo Brandolese, Fernando Cortez|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非線形熱方程式 $ u_t = \Delta u + u^b $（$ b \geq 2 $）に対して、スケール不変Besovノルム $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2, q}(\mathbb{R}^n) $ において任意に小さい初期データが有限時間 blowup 解を生じうることを示している。周波数局在型初期データと周波数空間におけるエネルギー推定を用いて、このBesov空間における小ささ条件が大域的解の存在を保証するものではないことを証明し、大域的解可能性に関する先行研究における小ささ仮定の最適性を示している。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem of the nonlinear heat equation $u_t -\\Delta u= u^{b},\\ u(0,x)=u_0$, with $b\\geq 2$ and $b\\in \\mathbb{N}$. We prove that initial data $u_0\\in \\mathcal{S}(\\mathbb{R}^{n})$ (the Schwartz class)arbitrarily small in the scale invariant Besov-norm$\\dot B^{-2/b}_{n(b-1) b/2,q}(\\mathbb{R}^{n})$, can produce solutions that blow up in finite time. The case $b=3$ answers a question raised by Yves Meyer.Our result also proves that the smallness assumption put in an earlier work by C. Miao, B.~Yuan and B. Zhang, for the global-in-time solvability, is essentially optimal.

研究の動機と目的

• スケール不変Besovノルム $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ において任意に小さい初期データが非線形熱方程式で有限時間 blowup を引き起こすかどうかを調査すること。
• 解の大域的存在に必要な小ささ仮定の鋭さを特定すること。
• Yves Meyer が非線形熱方程式における $ b=3 $ の場合に提起した blowup 問題を解決すること。
• 大域的解の存在に必要な $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ ノルムにおける小ささ条件が、大域的解の存在に十分でないことを示し、以前の解の存在性に関する結果の最適性を示すこと。

提案手法

• ダイアディックアニュラスにコンパクトなフーリエスペクトルを持つ周波数局在型初期データ $ u_N $ を構成し、ノルムの大きさを制御するとともに非線形効果を強調すること。
• 解を熱半群の摂動として表すためにDuhamelの公式を用い、非線形項の寄与に焦点を当てる。
• 畳み込み推定と時間の指数的減衰を用いて周波数空間における解の $ L^2 $ ノルムを推定すること。
• 周波数空間における非線形項の $ L^2 $ ノルムの増大に基づく blowup 基準を適用すること。
• 波数を段階的に増加させる周波数成分の再帰的構成を用いて、時間経過とともに非線形項が支配的になるように保証すること。
• 非線形項の増大と有限時間 blowup を結びつける補題（補題4.2）を適用し、$ T^*_N < \delta $（$ \delta $ が小さいとき）を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケール不変Besovノルム $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ において任意に小さい初期データが非線形熱方程式 $ u_t = \Delta u + u^b $ で有限時間 blowup を引き起こすことは可能か？
• RQ2 大域的解の存在に必要な $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ ノルムにおける小ささ条件は、必要かつ十分か？
• RQ3 $ b=3 $ の場合、このBesov空間における小ささが依然として blowup を許容するか。これはYves Meyerが提起した疑問を解決する。
• RQ4 Besov空間 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ の第3のインデックス $ q $ は blowup 挙動にどのような役割を果たすか？
• RQ5 大域的解の存在に必要な $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ ノルムにおける小ささ仮定は緩められるか、それとも鋭いか？

主な発見

• スケール不変Besov空間 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ において任意に小さい初期データが、$ b \geq 2 $ の場合、有限時間 blowup を引き起こす解を生成することが可能である。
• 初期データがSchwartzクラスに属し、かつ $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ ノルムが任意に小さい場合でも、blowup が発生する。
• この結果により、Miao, Yuan, Zhang が以前に提唱したように、$ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ ノルムにおける小ささ条件は、大域的解の存在にとって本質的に最適であることが示された。
• $ b=3 $ の場合、本稿はYves Meyerが提起した、このノルムにおいて初期データが小さい場合のblowupの可能性について肯定的に解決した。
• 非線形項の時間的増大を促進するように、ダイアディックアニュラスに周波数支持を持つ初期データを構成することで、証明がなされた。その結果、時間 $ \delta/2 $ 以前に blowup が発生する。
• 周波数局在型エネルギー推定と、非線形項の増大と有限時間 blowup を結びつける補題を用いて、blowup 基準が確立された。