[論文レビュー] Blowup of smooth solutions for general 2-D quasilinear wave equations with small initial data

Bingbing Ding, Ingo Witt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解およびその勾配に依存する係数をもつ一般の2次元準線形波動方程式に対して、滑らかで小刻みの初期データ解の有限時刻 blowup を確立する。ヌル条件の不在と初期データに関する非退化条件のもとで、生存期間 $ T_\varepsilon $ が $ \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon \sqrt{T_\varepsilon} = \tau_0 > 0 $ を満たすことを証明し、生存期間に達する際に2階微分における特異性が blowup を引き起こすことを示す。

ABSTRACT

For the 2-D quasilinear wave equation $\displaystyle \sum_{i,j=0}^2g_{ij}( abla u)\partial_{ij}u=0$ with coefficients independent of the solution $u$, a blowup result for small data solutions has been established in [1,2] provided that the null condition does not hold and a generic nondegeneracy condition on the initial data is fulfilled. In this paper, we are concerned with the more general 2-D quasilinear wave equation $\displaystyle \sum_{i,j=0}^2g_{ij}(u, abla u)\partial_{ij}u=0$ with coefficients that depend simultaneously on $u$ and $ abla u$. When the null condition does not hold and a suitable nondegeneracy condition on the initial data is satisfied, we show that smooth small data solutions blow up in finite time. Furthermore, we derive an explicit expression for the lifespan and establish the blowup mechanism.

研究の動機と目的

• 解 $ u $ および $ \nabla u $ に依存する係数をもつ一般の2次元準線形波動方程式に対して、滑らかな小刻み初期データ解の有限時刻 blowup を確立すること。
• 係数に依存しない場合の既存の blowup 結果を、係数に依存する場合へと拡張すること。
• 初期データを用いたラドン変換と幾何的解析を通じて、生存期間 $ T_\varepsilon $ の明示的漸近式を導出すること。
• blowup 機序を特徴づけ、$ t \to T_\varepsilon^- $ の際に2階微分が $ 1/(T_\varepsilon - t) $ のように発散するが、1階微分は有界のままであることを示すこと。

提案手法

• blowup が生存期間に近接して発生することを局所化するため、$ s = r - t $、$ \tau = \varepsilon \sqrt{t} $ である特徴的変数系 $ (s, \theta, \tau) $ への座標変換を用いる。
• 微分の損失が生じるにもかかわらず収束を保証するため、$ C^3 $ 解を領域 $ \mathcal{D}_3 $ の近傍で構成するため、Nash-Moser-Hörmander の反復スキームを適用する。
• 生存期間 $ T_\varepsilon $ は、初期データおよび係数のラドン変換によって定義される関数 $ G_0(\sigma, \theta) $ の下界によって決定され、$ \tau_0 = \inf G_0(\sigma, \theta) $ となる。
• 非退化条件 (ND) により、関数 $ G_0 $ に一意の最小点 $ (\sigma_0, \theta_0) $ が存在し、ヘッセ行列が正定値であることが保証され、これにより生存期間の漸近的性質が成立する。
• 2階微分のノルム $ \| \nabla_{t,x}^2 u(t, \cdot) \|_{L^\infty} $ の増大を推定することで、blowup 機序を分析し、$ t = T_\varepsilon $ に近いところで $ C / (T_\varepsilon - t) $ のように振る舞うことを示す。
• blowup 点 $ M_\varepsilon = (T_\varepsilon, x_\varepsilon) $ の近傍で解が構成され、$ u $ および $ \nabla u $ が $ C^1 $ で一様有界であることが確認され、$ T_\varepsilon $ まで連続であることが裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解およびその勾配に依存する係数をもつ2次元準線形波動方程式に対して、滑らかな小刻み初期データ解が有限時刻に blowup する条件は何か？
• RQ2 このような方程式に対して、$ \varepsilon \to 0 $ の際に生存期間 $ T_\varepsilon $ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 係数が解およびその勾配に依存する場合、ODE 型 blowup とはどのように異なるか？
• RQ4 積分変換を用いて、生存期間を初期データおよび係数構造の関数として明示的に表現できるか？
• RQ5 非退化条件 (ND) は、生存期間が有限であり、摂動に対して安定であることを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 生存期間 $ T_\varepsilon $ は $ \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon \sqrt{T_\varepsilon} = \tau_0 > 0 $ を満たし、ここで $ \tau_0 $ は初期データのラドン変換から得られる関数 $ G_0(\sigma, \theta) $ の下界である。
• blowup は一意の点 $ M_\varepsilon = (T_\varepsilon, x_\varepsilon) $ で発生し、2階微分 $ \nabla_{t,x}^2 u $ は $ t \to T_\varepsilon^- $ の際に $ C / (T_\varepsilon - t) $ のように発散する。
• 解 $ u $ は $ C^1 $ ノルムで有界であり、$ \| u \|_{C^1} \leq C\varepsilon $ および $ \| \nabla_{t,x} u \|_{L^\infty} \leq C\varepsilon $ が $ T_\varepsilon $ まで成り立つため、1階微分が連続であることが確認される。
• blowup 機序は ODE 型ではない。代わりに、係数構造に起因する非線形結合および初期データの幾何的性質に起因する。
• 非退化条件 (ND) により、$ G_0 $ に一意の最小点が存在し、これが生存期間の漸近的性質および blowup プロファイルに不可欠である。
• 関数 $ G_0(\sigma, \theta) $ はラドン変換および係数を用いて定義され、その下界が主項の生存期間スケーリングを決定する。