[論文レビュー] Blowup of Smooth Solutions to the Navier-Stokes Equations for Compressible Isothermal Fluids

Dapeng Du, Jingyu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、初期密度がコンパクトに台を持つ非自明な場合、1次元および2次元の等温圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解が有限時間で爆発することを証明している。重み付きエネルギー積分法とエネルギー保存則を用いて、運動量積分が時間とともに線形に増大する一方で初期データ項は有界のままであることを示し、解が爆発しない限り矛盾が生じることを示しており、1次元および2次元の回転対称初期データに対して有限時間での爆発を確立している。

ABSTRACT

It is shown that the one-dimensional or two-dimensional radially symmetric isothermal compressible Navier-Stokes system has no non-trivial global smooth solutions if the initial density is compactly supported. This result is a generalization of Xin's work \cite{Xin98} to the isothermal case.

研究の動機と目的

• 初期密度がコンパクトに台を持つ場合の圧縮性等温ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解が有限時間で爆発することを確立すること。
• 非等温流体から等温流体へのシンの爆発結果の拡張を1次元および2次元空間的次元で行うこと。
• 初期データが回転対称的かつコンパクトに台を持つ場合、グローバルな滑らかな解が存在できないことを示すこと。
• 等温系において、重み付き運動量積分とエネルギー保存則に基づく簡略化された証明技法を提供すること。

提案手法

• 空間的重み $ x $ を用いて運動量方程式を積分する関数法の使用により、密度および速度を含む積分恒等式を導出すること。
• 粒子の軌道解析および連続の方程式に基づき、密度がすべての時間においてコンパクトに台を持つまま保たれることの証明。
• 連続方程式および運動量方程式にそれぞれ $ \ln(\rho + \epsilon) $ および $ u $ を乗じ、$ \epsilon \to 0 $ の極限をとることで、系のエネルギー保存則の導出。
• エネルギー推定を用いて $ \nabla u $ の $ L^2 $ 界を導出し、時間にわたる可積分性を保証すること。
• 1次元および2次元におけるニュートン＝ライプニッツの不等式を応用し、$ u \cdot x $ の $ L^\infty $ 範囲を $ \| \nabla u \|_{L^2} $ で上界評価すること。
• 背理法による証明：運動量積分恒等式の左辺は有界であるが、右辺は時間とともに線形に増大するため、解が有限時間で爆発しなければならない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度がコンパクトに台を持ち非自明な場合、等温圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解は時間全域にわたりグローバルに存在可能か？
• RQ2 非等温流体および断熱流体で観察された爆発機構が、1次元および2次元における等温系に拡張可能か？
• RQ3 初期データがコンパクトに台を持つ圧縮性ナビエ＝ストークス流れにおける有限時間特異性の形成において、回転対称性が果たす役割は何か？
• RQ4 等温系、断熱系、非等温系のすべてに適用可能な統一的な手法を用いて爆発結果を確立可能か？

主な発見

• 初期密度がコンパクトに台を持つ1次元および2次元の等温圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解は、時間全域にわたりグローバルに存在できない。
• 運動量積分 $ \int \rho u \cdot x \, dx $ は圧力項 $ a \int \rho \, dx = a m_0 $ の寄与により、時間とともに線形に増大し、恒等式に $ a m_0 t $ を与える。
• 初期運動量項 $ \int \rho_0 u_0 \cdot x \, dx $ は有界のままであり、$ u \cdot x $ の $ L^\infty $ 範囲は $ \nabla u $ の $ L^2 $ 範囲によって制御され、時間にわたって一様に有界である。
• エネルギー保存則および $ \nabla u $ の $ L^2 $ 界により、運動量積分恒等式の左辺は有界のままであるが、右辺は時間とともに線形に増大する。
• 有界な左辺と線形に増大する右辺の矛盾は、解が有限時間で爆発しなければならないことを示唆する。
• 爆発結果は、$ \mu > 0 $、$ \lambda + \frac{2}{n}\mu > 0 $、および2次元では回転対称性、1次元では任意の対称性を満たす非自明でコンパクトに台を持つ初期密度のもとで成立する。