[論文レビュー] Blowup solutions for a nonlinear heat equation involving a critical power nonlinear gradient term

Tej‐Eddine Ghoul, Van Tien Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 41被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、臨界的二次勾配項（$\alpha |\nabla U|^2$）と指数反応（$e^U$）を有する非線形熱方程式に対して、有限時間 blowup 解を構成し、解とその勾配が原点で同時に blow up することを証明する。最終的な blowup プロファイルは、$\alpha=0$ の場合とは異なり、勾配項の臨界性に起因する。解の初期データの摂動に対する安定性は、有限次元還元とインデックス理論を用いて確立される。

ABSTRACT

We consider the following exponential reaction-diffusion equation involving a nonlinear gradient term: $$\\partial_t U = \\Delta U + \\alpha|\ abla U|^2 + e^U,\\quad (x, t)\\in\\mathbb{R}^N\ imes[0,T), \\quad \\alpha > -1.$$ We construct for this equation a solution which blows up in finite time $T > 0$ and satisfies some prescribed asymptotic behavior. We also show that the constructed solution and its gradient blow up in finite time $T$ simultaneously at the origin, and find precisely a description of its final blowup profile. It happens that the quadratic gradient term is critical in some senses, resulting in the change of the final blowup profile in comparison with the case $\\alpha = 0$. The proof of the construction inspired by the method of Merle and Zaag in 1997, relies on the reduction of the problem to a finite dimensional one, and uses the index theory to conclude. One of the major difficulties arising in the proof is that outside the \ extit{blowup region}, the spectrum of the linearized operator around the profile can never be made negative. Truly new ideas are needed to achieve the control of the outer part of the solution. Thanks to a geometrical interpretation of the parameters of the finite dimensional problem in terms of the blowup time and the blowup point, we obtain the stability of the constructed solution with respect to perturbations of the initial data.

研究の動機と目的

• 非線形熱方程式 $\partial_t U = \Delta U + \alpha |\nabla U|^2 + e^U$（$\alpha > -1$）に対して、有限時間 $T>0$ で blow up する解を構成すること。
• 解とその勾配の原点における正確な最終 blowup プロファイルを特定すること。
• 二次勾配項が臨界的であること、$\alpha = 0$ の場合と比較して blowup プロファイルを変化させることを示すこと。
• 初期データの小さな摂動に対しても、構成された blowup 解の安定性を確立すること。
• 線形化作用素のスペクトルが負にできない外領域を制御する課題に直面し、新たな解析的手法を要すること。

提案手法

• blowup 問題を大時間漸近解析に変換するため、類似変数変換を用いる。
• Merle と Zaag (1997) のアイデアにインspiredされた有限次元還元法を用い、無限次元 PDE を有限次元力学系に還元する。
• blowup 時刻および点付近での解の振る舞いを制御するためにインデックス理論を適用する。
• blowup 時刻および blowup 位置に関する有限次元パラメータの幾何的解釈を導入し、安定性を証明する。
• 重み付きエネルギー推定と特異核を有するグロワール型不等式を用い、空間的不同領域における解の制御を行う。
• 補題 B.1 およびグロワールの不等式の変種（補題 B.3）を、積分推定（補題 B.2）と組み合わせ、外領域における解およびその勾配のバインドを求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的二次勾配項 $\alpha |\nabla U|^2$ が方程式 $\partial_t U = \Delta U + \alpha |\nabla U|^2 + e^U$ の blowup プロファイルに与える影響は何か？
• RQ2 ${\alpha > -1}$ かつ $r=2$ が臨界的であるとき、解とその勾配の正確な最終 blowup プロファイルは何か？
• RQ3 なぜ blowup プロファイルは $\alpha = 0$ の場合と異なるのか？また、臨界指数 $r=2$ はダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ4 構成された blowup 解が初期データの小さな摂動に対して安定であることを示せるか？
• RQ5 線形化作用素のスペクトルが負でない外領域を制御するために、どのような新たな解析的手法が必要か？

主な発見

• 解とその勾配は有限時間 $T>0$ において原点で同時に blow up し、正確に記述された最終 blowup プロファイルを有する。
• 二次勾配項の臨界性に起因し、$\alpha = 0$ の場合とは異なる漸近的構造を持つため、blowup プロファイルはそれとは異なる。
• 有限次元パラメータの幾何的解釈により、初期データの小さな摂動に対しても解が安定であることが示された。
• 重み付き $L^\infty$ ノルムと特異核を有する積分不等式を用いた新規推定により、外領域の制御が達成された。
• $\epsilon$ が小さいとき、内領域 $|\xi| < 1/8$ において、$\tau \in [0,1)$ に対して一様に $e^{u(\xi,\tau)} \leq C\epsilon (1-\tau)^{-\epsilon}$ および $|\nabla u(\xi,\tau)| \leq C\epsilon$ を満たす。
• blowup 速度は $\lim_{t \to T} \left[ U(a + z\sqrt{(T-t)|\ln(T-t)|}, t) + \ln(T-t) \right] = \Phi_0(z) = -\ln\left(1 + \frac{|z|^2}{4}\right)$ を満たし、中間スケールプロファイルが確認された。