[論文レビュー] Blowups of Heterotic Orbifolds using Toric Geometry

Stefan Groot Nibbelink|ArXiv.org|Aug 14, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、明示的なブロー・アップ幾何とトーリック幾何を用いて、解消されたオルビフォールド特異点上のエリティックスリングコンパクト化を統一的な枠組みで構築する。$\bb{C}^3/\bb{Z}_3$ および $\bb{C}^3/\bb{Z}_4$ オルビフォールドとそのブロー・アップ対応物のスペクトルが正確に一致することを示し、すべてのねじれ状態——異常U(1)系を含む——が一貫して再解釈され、非ユニバーサルなアキソンとして再解釈され、すべてのケースで完全な異常キャンセレーションが確認された。

ABSTRACT

Heterotic orbifold models are promising candidates for models with MSSM like spectra. But orbifolds only correspond to a special place in moduli space, the bigger picture is described by the moduli space of Calabi-Yau spaces. In this talk we will make explicit connections between both points of view. To this end we study blowups of orbifold singularities using both explicit constructions and toric geometry techniques. We show that matching of all orbifold models in blowups are possible.

研究の動機と目的

• オルビフォールドコンパクト化と滑らかなカーラビ＝ヤウコンパクト化の間のギャップを埋めるために、オルビフォールド特異点を解消する。
• Hermitian Yang-Mills方程式を満たすU(1)ゲージ bundle を持つ $\bb{C}^n/\bb{Z}_n$ 特異点の体系的な明示的ブロー・アップを構築する。
• エリティックオルビフォールドの粒子スペクトルが、滑らかな解消対応物と一致することを確認する。これにはねじれ状態および異常U(1)系が含まれる。
• 明示的構成が困難な場合に、トーリック幾何を用いてより複雑なオルビフォールド（例：$\bb{C}^3/\bb{Z}_4$）に対しても同様の手法を拡張する。
• ゲージ異常および重力異常の明示的計算を通じて、すべての解消モデルが異常自由であることを確認する。

提案手法

• $X = (1 + \bar{z}z)^n |x|^2$ というSU(n)不変変数を用いて、$\bb{C}^n/\bb{Z}_n$ のブロー・アップのケーラー汎関数を構築し、解消パラメータ $r$ を導入する。
• ケーラー汎関数から曲率2形式を導出し、正則化されたデルタ関数を模倣し、曲率が特異的除法に局在化することを示す。
• U(1)ゲージ背景を $i{\frak F}_V = \big( \frac{r}{r+X} \big)^{1 - 1/n} \big( \bar{e}e - \frac{n-1}{n^2} \frac{\bar{\rho}\rho}{r+X} \big) H_V$ として定義し、Hermitian Yang-Mills条件を満たす。
• $\bb{CP}^{p-1} \rtimes \bb{C}$ および $\bb{CP}^p$ 上での積分を用いて位相的不変量を計算し、$\text{tr}\frak R^2$ および $\text{tr}(i{\frak F}/2\bar\tau)^p$ をそれぞれ $n(n+1)$ および $1$ という正確な値で得る。
• トーリック幾何を用いて $\bb{C}^3/\bb{Z}_4$ の解消を記述し、除法 $D_i$, $E_1$, $E_2$ 間の線形同値関係を導出する。
• トーリック図から交差数を計算し、$D_1 E_1 E_2 = 1$, $E_1^3 = 8$, $E_2^3 = 2$, および $E_2^2 E_1 = -2$ などの値を得て、ゲージおよび重力異常の計算に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(1)ゲージ bundle を持つ $\bb{C}^n/\bb{Z}_n$ オルビフォールドの明示的ブロー・アップが、得られる幾何とゲージ背景がすべてHermitian Yang-Mills方程式を満たすように構築可能か。
• RQ2 エリティック $\bb{C}^3/\bb{Z}_3$ オルビフォールドのスペクトルが、その滑らかな解消対応物とどの程度一致するか。
• RQ3 オルビフォールドモデルにおける異常U(1)ゲージ場は、ブロー・アップ幾何においてどのように再解釈されるか。異常キャンセレーションは保持されるか。
• RQ4 明示的ブロー・アップが未知であるようなケース（例：$\bb{C}^3/\bb{Z}_4$）において、トーリック幾何の手法を用いてスペクトルおよび異常を計算可能か。
• RQ5 どのオルビフォールドモデルがブロー・アップ対応を持たず、その理由は何か。

主な発見

• $\bb{C}^3/\bb{Z}_3$ オルビフォールドとそのブロー・アップの間で正確なスペクトル一致が確認され、すべてのねじれ状態が再現され、欠落していた状態は非ユニバーサルなアキソンとして再解釈された。
• $\bb{C}^3/\bb{Z}_4$ に対しては、ブロー・アップモデルがオルビフォールドスペクトルをすべて再現するが、モデル4は最初のねじれセクターを欠いており、したがってブロー・アップが不可能である。
• $\bb{C}^3/\bb{Z}_4$ の解消により、$D_1 E_1 E_2 = D_2 E_1 E_2 = 1$, $E_1^3 = 8$, $E_2^3 = 2$, および $E_2^2 E_1 = -2$ の交差数が得られ、これらは異常計算に不可欠である。
• ゲージ背景は ${\frak F}_V = -\frac{1}{2} E_1 H_1 - \frac{1}{4}(E_1 + 2E_2) H_2$ として展開され、$H_1 = V_1^I H_I$, $H_2 = V_2^I H_I$ であり、$V_I$ は特異的除法上でのバイオッチ恒等式を満たす。
• すべてのブロー・アップモデルが異常自由なスペクトルを持つことが確認され、$E_1$, $E_2$, および $\bb{C}^2/\bb{Z}_2$ 解消上でのバイオッチ恒等式の消滅により裏付けられた。$V_1^2 + V_1 \bullet V_2 = 4$, $V_1 \bullet V_2 = -2$, および $V_2^2 = 6$ が成り立つ。
• この手法は $\bb{Z}_6$-II などの複素オルビフォールドに対しても成功裏に拡張可能であり、トーリック幾何により、明示的ブロー・アップが得られない場合でも解析が可能である。