[論文レビュー] BMO solvability and the $A_\infty$ condition for elliptic operators

Martin Dindoš, Carlos E. Kenig+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有界可測係数をもつ発散型楕円型作用素に対するBMODirichlet問題の可解性と関連する楕円測度の$A_\infty$条件との同値性を確立する。BMO可解性がすべての$p > p_0$に対して$L^p$可解性を示すことを証明し、解のCarleson測度性質と楕円測度の絶対連続性を結ぶエンドポイント摂動結果を提示する。

ABSTRACT

We establish a connection between the absolute continuity of elliptic measure associated to a second order divergence form operator with bounded measurable coefficients with the solvability of an endpoint $BMO$ Dirichlet problem. We show that these two notions are equivalent. As a consequence we obtain an end-point perturbation result, i.e., the solvability of the $BMO$ Dirichlet problem implies $L^p$ solvability for all $p>p_0$.

研究の動機と目的

• エンドポイントBMODirichlet問題の可解性と表面測度に関して楕円測度の絶対連続性との間の関係を確立すること。
• Dirichlet問題のBMO可解性が、楕円測度がMuckenhouptの$A_\infty$類に属することと同値であることを示すこと。
• エンドポイント摂動結果を証明する：BMO可解性はすべての$p > p_0$に対して$L^p$可解性を示す。
• A_\infty$条件が摂動に対して安定であることを示し、BMOから$L^p$空間への可解性の移行を可能にすること。

提案手法

• 発散型楕円方程式の弱解のHölder連続性を確立するために、De Giorgi-Nash-Moser理論を用いる。
• Carleson測度論を適用し、境界付近における解の勾配の成長を正方形関数および非接線的最大関数を用いて特徴付ける。
• 比較原理およびGreen関数の推定を用いて、Lipschitz領域における楕円測度と表面測度の関係を関係付ける。
• 解の$t|\nabla u|^2 dx dt$のCarleson測度ノルムと境界データのBMOセミノルムとの等価性を用い、解の挙動と$A_\infty$重みとの間の定量的関係を確立する。
• $A_p$重み理論および双対性を適用し、$A_\infty$が$p > p_0$に対して$L^p$可解性を示すことを証明する。
• $L^p$における連続関数の近似列に対する極限論法を用い、$L^p$可解性をBMOデータへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BMODirichlet問題の可解性は、楕円測度が表面測度に関して$A_\infty$類に属することと同値であるか？
• RQ2 BMO可解性は、ある$p > p_0$に対して$L^p$可解性を示すか？
• RQ3 $A_\infty$条件は、解のCarleson測度性質によって特徴付けられるか？
• RQ4 $A_\infty$条件は摂動に対して安定であり、BMOから$L^p$への可解性の移行を可能にするか？
• RQ5 BMO境界データをもつ解は、$L^p$で連続関数により近似可能であり、非接線的最大関数が一様に有界を保つことができるか？

主な発見

• 発散型楕円作用素に対するBMODirichlet問題は、関連する楕円測度が表面測度に関して$A_\infty$類に属するときかつそのときに限り可解である。
• $A_\infty$条件は、楕円測度が表面測度と互いに絶対連続であること、つまり境界値問題の正則性を保証することを示す。
• BMO可解性は、すべての$p > p_0$に対して$L^p$可解性を示す。ここで$p_0$は、楕円測度が$B_p$に属するような$p$の下界である。
• $t|\nabla u|^2 dx dt$のCarleson測度ノルムは、境界データのBMOセミノルムと等価であり、解の挙動と境界正則性との間の定量的関係を確立する。
• $A_\infty$条件は小さな摂動に対しても保存され、BMOから$L^p$空間への可解性の移行に強い条件である。
• BMO境界データをもつ解は、$L^p$で連続関数により近似可能であり、非接線的最大関数が一様に有界である。これにより、$W^{1,2}_{\text{loc}}$における弱解への収束が可能である。