[論文レビュー] Body and Tail - Separating the distribution function by an efficient tail-detecting procedure in risk management

Ingo Hoffmann, Christoph J. Börner|arXiv (Cornell University)|May 25, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リスク管理における未知の分布の本体と尾部を分離する最適なしきい値を特定する、パラメータフリーで効率的な手順を提案する。重み付き平均二乗誤差基準を用い、一般化パレート分布（GPD）モデリングのための尾部領域を同定することで、事前のパラメータ仮定なしに、VaR や CVaR などの極端リスク指標の正確な分位数推定が可能となる。シミュレートされたデータおよび実際の金融データ（MSCI World Index を含む）を用いた検証が行われた。

ABSTRACT

In risk management, tail risks are of crucial importance. The quality of a tail model, which is determined by data from an unknown distribution, depends critically on the subset of data used to model the tail. Based on a suitably weighted mean square error, we present a method that can separate the required subset. The selected data are used to determine the parameters of the tail model. Notably, no parameter specifications have to be made to apply the proposed procedure. Standard goodness of fit tests allow us to evaluate the quality of the fitted tail model. We apply the method to standard distributions that are usually considered in the finance and insurance industries. In addition, for the MSCI World Index, we use historical data to identify the tail model and to compute the quantiles required for a risk assessment.

研究の動機と目的

• 極端値解析におけるしきい値選択という、リスク管理における重要な課題に取り組む。
• 分布のパラメータに関する事前の仮定を必要としない、最適な尾部領域を特定する手法を開発する。
• 金融・保険分野における VaR や CVaR などのリスク指標の高分位数推定の精度を向上させる。
• モデル固有のパrameter化に依存しない、強固で自動化された尾部検出手順を提供する。
• シミュレーションデータおよび実世界の金融時系列（MSCI World Index を含む）を用いて、手法の妥当性を検証する。

提案手法

• 本手法は、データ範囲全体の候補しきい値を評価するために、適切に重み付けされた平均二乗誤差（WMSE）基準を採用する。
• 実際の尾部とフィットした GPD の間の WMSE を最小化するしきい値を選択することで、最適な尾部フィットを確保する。
• 手順は完全に自動化されており、GPD パラメータや分布仮定の事前指定を必要としない。
• 選択された尾部データを用いて、最尤推定法により GPD パラメータ（ξ, σ）を推定する。
• GPD のフィットを検証するために、標準的な適合度検定（アンダーソン・ダーリング、クラムエール・ヴァン・ミーゼス、ウォータン）を適用する。
• 本手法は、実用的なリスクモデリングに向けた、無料で利用可能な Python パッケージとして実装されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知の分布の本体と尾部を分離する最適なしきい値は何か？ これは、極端値モデリングの精度を最大化する形で特定される。
• RQ2 基礎となる分布や GPD パラメータに関する事前の仮定に依存せずに、尾部検出をどのように行えるか？
• RQ3 提案手法は、VaR や CVaR などの高分位数推定の精度をどの程度向上させるか？
• RQ4 本手法は、さまざまなサンプルサイズや分布タイプ（重尾型・軽尾型を含む）において、どのように性能を示すか？
• RQ5 本手法は、MSCI World Index のような実際の金融時系列に、効果的に適用可能か？ これは、規制および内部リスク資本計算を支援する。

主な発見

• MSCI World Index では、最適なしきい値が週次リターンの 11.5%（n=2503 中 k*=289）に特定され、GPD 形状母数 ξ̂=0.215 および尺度母数 σ̂=0.011 を得た。
• アンダーソン・ダーリング、クランマー・ヴァン・ミーゼス、ウォータン統計量は、週次データにおける GPD の良好なフィットを確認した。p 値はそれぞれ 0.965、0.845、0.932 であった。
• 99.9% の信頼水準において、週次リターンの VaR は 0.112（CVaR：0.157）と推定され、インデックス水準での週次損失が最大 11.2% に達する可能性を示した。
• 本手法は、さまざまなデータ頻度においても強固であった：月次データ（k*=95、ξ̂=-0.040）および年次データ（k*=42、ξ̂=-0.128）は、一貫したモデルフィットと信頼性の高い分位数推定を示した。
• 小規模なサンプルでも尾部領域を正しく同定できたが、n < 25 の場合、統計的ゆらぎのため性能が制限された。信頼区間の収束が示された。
• 主観的な入力を排除し、統計的に根拠のある再現可能なしきい値検出プロセスを提供するため、従来のしきい値選択手法を上回る性能を示した。