[論文レビュー] Bogomolov multipliers and retract rationality for semi-direct products

Ming-chang Kang|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ を満たす半直積 $ G = N \rtimes G_0 $ に対して、Bogomolov 乗数 $ B_0(G) $ の公式を確立し、$ B_0(G) \cong B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ を示している。また、$ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ を証明している。さらに、任意に大きな $ p $-ランクおよび指数 $ p^n $ の Bogomolov 乗数をもつ非直積 $ p $-群の構成を行い、無限体に単位根を含む場合の群体の再帰的有理性基準を一般化している。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group. The Bogomolov multiplier $B_0(G)$ is constructed as an obstruction to the rationality of $\bm{C}(V)^G$ where $G o GL(V)$ is a faithful representation over $\bm{C}$. We prove that, for any finite groups $G_1$ and $G_2$, $B_0(G_1 imes G_2)\xrightarrow{\sim} B_0(G_1) imes B_0(G_2)$ under the restriction map. If $G=N times G_0$ with $\gcd\{|N|,|G_0|\}=1$, then $B_0(G)\xrightarrow{\sim} B_0(N)^{G_0} imes B_0(G_0)$ under the restriction map. For any integer $n$, we show that there are non-direct-product $p$-groups $G_1$ and $G_2$ such that $B_0(G_1)$ and $B_0(G_2)$ contain subgroups isomorphic to $(\bm{Z}/p \bm{Z})^n$ and $\bm{Z}/p^n \bm{Z}$ respectively. On the other hand, if $k$ is an infinite field and $G=N times G_0$ where $N$ is an abelian normal subgroup of exponent $e$ satisfying that $ζ_e\in k$, we will prove that, if $k(G_0)$ is retract $k$-rational, then $k(G)$ is also retract $k$-rational provided that certain "local" conditions are satisfied; this result generalizes two previous results of Saltman and Jambor \cite{Ja}.

研究の動機と目的

• 半直積 $ G = N \rtimes G_0 $ に対して $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ を満たすとき、Bogomolov 乗数 $ B_0(G) $ の構造を特定すること。これは既知の直積に関する結果の拡張を目的とする。
• 制限写像を介して $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ が成り立つことを証明し、積群における乗数の性質を一般化すること。
• 非直積 $ p $-群 $ G_1 $ および $ G_2 $ を構成し、$ B_0(G_1) $ が $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $ に同型な部分群を含み、かつ $ B_0(G_2) \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $ となるようにすることにより、非アーベル的かつ非直積的群においても大きな乗数が実現可能であることを示すこと。
• $ k $ が無限体で $ \zeta_e \in k $ であり、$ k(G_0) $ が再帰的 $ k $-有理的であるとき、ある種の局所的条件が満たされれば $ k(G) $ が再帰的 $ k $-有理的であることを示し、Saltman および Jambor の再帰的有理性基準を一般化すること。

提案手法

• Bogomolov 乗数を、すべての二巡回部分群 $ A \leq G $ に対して $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ から $ H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ への制限写像の核の共通部分として定義し、$ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) \cong B_0(G) $ の同型を活用する。
• Hochschild-Serre 譜系を用いて $ B_0(G) $ を $ B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ と関連づけ、$ G_0 $ が $ B_0(N) $ を共役作用で作用させることを用いる。
• 生成元と関係式に $ \sigma $, $ u_i $, $ \zeta_{p^n} $ を含む群の表示を用いて、$ p^5 $ および $ p^6 $ 階の明示的 $ p $-群 $ G_1 $ および $ G_2 $ を構成し、望ましい乗数構造を実現する。
• Hochschild-Serre の 7項完全列を用いて、$ p^5 $ 階および $ 2^6 $ 階の $ p $-群における $ B_0(G) $ を計算し、既知の事例で $ B_0(G) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ または $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ であることを示す。
• $ k $ が無限体で $ \zeta_e \in k $ であり、$ k(G_0) $ が再帰的 $ k $-有理的であるとき、局所的条件が満たされれば $ k(G) $ が再帰的 $ k $-有理的であることを示す。これには、有理的セクションの存在と代数幾何学的技法を用いる。
• 2-コサイクルを二巡回部分群 $ A = \langle x, y \rangle $ に制限することを分析し、$ \operatorname{ord}(I), \operatorname{ord}(J) \leq n-1 $ ならば、$ \langle x \rangle $ 上の1-コサイクル $ \alpha $ から定義される1-コチェイン $ \beta $ を用いてコサイクルに帰着できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半直積 $ G = N \rtimes G_0 $ に対して $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ を満たすとき、Bogomolov 乗数 $ B_0(G) $ の構造は何か？
• RQ2 直接積において、$ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ となるのはどのような条件下か？
• RQ3 任意に大きな $ p $-ランクまたは指数 $ p^n $ の Bogomolov 乗数をもつ非直積 $ p $-群を構成可能か？
• RQ4 $ N $ がアーベルで $ \zeta_e \in k $ のとき、$ k(G_0) $ の再帰的有理性が $ G = N \rtimes G_0 $ に対して $ k(G) $ の再帰的有理性を示す条件は何か？
• RQ5 制限写像 $ \operatorname{res}: B_0(G) \to B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ は、半直積の Bogomolov 乗数を分解する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 直接積に対して、制限写像を介して $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $ が成り立つ。これは既知の結果の一般化である。
• $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ を満たす $ G = N \rtimes G_0 $ に対して、制限写像を介して $ B_0(G) \cong B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ が成り立つ。これは乗数の分解を提供する。
• 任意の整数 $ n $ に対して、非直積 $ p $-群 $ G_1 $ および $ G_2 $ が存在し、$ B_0(G_1) $ が $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $ に同型な部分群を含み、かつ $ B_0(G_2) \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $ となる。これは非アーベル的かつ非積的群においても大きな乗数が実現可能であることを示している。
• $ k $ が無限体で $ \zeta_e \in k $ であり、$ k(G_0) $ が再帰的 $ k $-有理的であるとき、ある種の局所的条件が満たされれば $ k(G) $ が再帰的 $ k $-有理的である。これは Saltman および Jambor の結果の拡張である。
• $ p^5 $ 階（奇素数 $ p $）または $ 2^6 $ 階の $ p $-群に対して、$ B_0(G) \neq 0 $ であるための必要十分条件は、特定の同型族に属することであり、その場合 $ B_0(G) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ または $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ となる。
• 証明により、$ B_0(G) $ に属する任意の2-コサイクルは、すべての二巡回部分群 $ A \leq G $ に制限するとコサイクルに帰着されること、すなわちコホモロジーで自明になることが示された。これは、$ A $ の巡回部分群 $ \langle x \rangle \leq A $ 上の1-コサイクル $ \alpha $ から定義される1-コチェイン $ \beta $ を構成することで保証される。