[論文レビュー] Bohmian Non-commutative Dynamics: History and New Developments

B. J. Hiley|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非可換代数的構造を通じてボーム力学の再定式化を提示し、デイヴィッド・ボームの『ホロムーブメント』（全体性）を根拠とする量子理論のビジョンを蘇らせた。ヴァン・ノイマン代数とモーヤル代数をクリフォード代数と結びつけることで、非相対論的および相対論的量子力学を統合する数学的に整合性のある枠組みを構築し、標準的解釈を超えた量子非力学の新しい代数的基盤を提供する。

ABSTRACT

The reality of Bohm's intellectual journey is very different from what is often claimed by the proponents of "Bohmian Mechanics" and others as we will explain in this paper. He did not believe a mechanical explanation of quantum phenomena was possible. Central to his thinking, and incidentally to Bohr's also, was the notion of 'unbroken wholeness', a notion that is crucial for understanding quantum properties like quantum nonlocality. His proposals were based on a primitive notion of `process' or `activity', producing a more 'organic' approach to quantum phenomena. He published many papers outlining these new ideas, some plausible, some less so, but was not able to develop a coherent mathematical structure to support the work. Over the last ten years much of that missing mathematics has been put in place. This paper will report this new work, concentrating on providing a coherent overview of the whole programme.

研究の動機と目的

• ボームの元来の哲学的・物理的動機を明確にし、彼の研究が古典的決定論を目的としていたという誤解を是正すること。
• ボームの『ホロムーブメント』と『未断片化された全体性』の概念を数学的に整合性のある代数的枠組みで形式化すること。
• ボームの1952年のパイロットウェーブモデルを、非可換代数的構造を用いて非相対論的および相対論的スピンに拡張すること。
• 量子現象が固定された時空多様体ではなく、非可換代数によって記述される基礎的なプロセスから生じることを示すこと。
• タイプI、II、IIIのヴァン・ノイマン代数を用いて、多体系や量子場理論への未来の拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 非可換力学のコアな代数的構造として、ヴァン・ノイマンの量子代数と同型なモーヤル代数を用いる。
• クリフォード代数の技法を用いてスピンおよび相対論的力学を記述し、特にディラック電子に特化する。
• 時空構造が代数から生じるが、事前に仮定されない非可換代数的枠組みを構築する。
• ゲルファンドの双対性を用いて、非可換代数から「シャドウ多様体」または明示的順序を導出し、実験的条件を表現する。
• ボームの『内包的順序』の概念を代数的構造と統合し、量子現象を静的配置ではなくプロセスとしてモデル化する。
• タイプIのヴァン・ノイマン代数を出発点とし、将来的にはタイプIIおよびIIIへの拡張により、熱力学および量子重力との接続を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボームのプロセスに基づく量子理論の元来のビジョンを、古典力学に還元せずに数学的に形式化する方法は何か？
• RQ2 モーヤル代数およびヴァン・ノイマン代数の非可換代数的構造が、時空に依存しない量子力学の基礎をどのように提供するか？
• RQ3 相対論的ディラック方程式およびスピンは、非可換力学的枠組みにどのように一貫して組み込まれるか？
• RQ4 準局所的粒子構造および古典的時空が、基礎的な非可換代数的プロセスからどのように生じるかを支配する原理は何か？
• RQ5 実験的条件は、単一の統一的内包的代数的順序から生じる『明示的順序』をどのように制約するか？

主な発見

• モーヤル代数はヴァン・ノイマンの量子代数と同型であり、ボームのアイデアと確立された量子形式主義の間の厳密な数学的橋渡しを提供する。
• 直交するクリフォード代数の組み込みにより、非可換枠組み内で非相対論的および相対論的スピンを一貫して記述可能である。
• この枠組みは、ボームの1952年のパイロットウェーブモデルをスピンおよび相対論的力学に成功裏に拡張し、単粒子量子力学に整合性のある代数的構造を提供する。
• 時空構造は根本的ではなく、非可換代数から導かれる「シャドウ多様体」として生じる。各明示的順序は実験的条件によって決定される。
• この手法により、単一の非可換代数的構造内に量子力学と古典力学の両方の動力学を統一的な数学的言語で記述可能であり、ボームの『量子非力学』のビジョンを支持する。
• タイプI、II、IIIのヴァン・ノイマン代数の使用は、熱力学および量子重力との接続への道筋を開くが、安定した構造の出現を支配する一般原理は未解決のままである。