[論文レビュー] Bohr inequality for odd analytic functions

I. R. Kayumov, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アリ、バーナード、ソロニンの予想を確認することで、単位円板内で1で有界な奇数正則関数に対するボール不等式を解明した。$ r_2 = 0.789991\ldots $ における鋭鋭なボール半径を同定し、$ p $-対称関数への一般化を実施。係数推定とシュワルツの補題の技法を用いて、奇数の単一値関数への劣分数関数に対する新たなボール半径を確立した。

ABSTRACT

We determine the Bohr radius for the class of odd functions $f$ satisfying $|f(z)|\le 1$ for all $|z|<1$, settling the recent conjecture of Ali, Barnard and Solynin \cite{AliBarSoly}. In fact, we solve this problem in a more general setting. Then we discuss Bohr's radius for the class of analytic functions $g$, when $g$ is subordinate to a member of the class of odd univalent functions.

研究の動機と目的

• 単位円板内で1で有界な奇数正則関数に対するボール半径に関するアリ、バーナード、ソロニンの予想を解明する。
• 関数 $ f(z) = z\sum_{k=0}^\infty a_{pk+1}z^{pk} $ として定義される $ p $-対称関数へのボール不等式の一般化を行い、鋭鋭な半径 $ r_p $ を導出する。
• 奇数の単一値関数への劣分数関係にある関数のための新たなボール半径を確立する。この場合、係数の鋭鋭な境界が不足しているため、その制限がある。
• ロゴシンスキーの定理と $ \ell^2 $-ノルム推定を用いて、奇数の単一値関数における係数の絶対値の和の鋭鋭な上限を提供する。

提案手法

• 関数 $ f(z) $ の $ p $-対称構造を用い、特性方程式 $ -6r^{p-1} + r^{2(p-1)} + 8r^{2p} + 1 = 0 $ を導出する。この方程式の $ (0,1) $ 内の最大正の根がボール半径 $ r_p $ を与える。
• $ r_p $ から導かれる $ a $ を用いた形 $ z(z^p - a)/(1 - a z^p) $ の極値関数を構成し、鋭鋭さを検証する。
• 劣分数理論を適用：$ g \prec f $ ならば $ g(z) = f(w(z)) $ であり、$ w(0) = 0 $、$ |w(z)| < 1 $ を満たす。シュワルツの補題を用いて $ |g'(0)| $ を評価する。
• $ \ell^2 $-ノルムの境界 $ \sum_{k=1}^n |a_{2k-1}|^2 \leq n $ を用い、奇数の単一値関数に対して $ \sum |a_{2k-1}| r^{2k-1} \leq \frac{r}{1 - r^2} $ を導出する。
• コーシー・シュワルツの不等式を $ \sum |b_k| r^k $ に適用し、$ \sum |b_k| r^k \leq \frac{r}{(1 - r)\sqrt{1 + r}} $ を得る。これは $ r^3 - 2r^2 - r + 1 \geq 0 $ のとき $ \leq 1 $ である。
• 制約付き最適化により $ \psi(x,y) $ を最適化し、改良された半径 $ r \approx 0.564 $ を得る。また、$ f(z) = z/(1 - z^2) $ に対して上界 $ (\sqrt{5} - 1)/2 \approx 0.618 $ が鋭鋭であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板内で $ |f(z)| \leq 1 $ を満たす奇数正則関数 $ f $ に対する鋭鋭なボール半径は何か？
• RQ2 ボール不等式は $ p $-対称関数へ一般化可能か？その場合のボール半径 $ r_p $ は何か？
• RQ3 奇数の単一値関数 $ f $ に対して、$ g \prec f $ を満たす関数 $ g $ に対するボール半径は何か？ただし、奇数の単一値関数の係数の鋭鋭な境界が不足している。
• RQ4 係数ノルムの制約付き最適化を用いて、$ r = 0.564 $ よりも良いボール半径を改善可能か？
• RQ5 $ a_1 = 1 $ を満たす奇数の単一値関数のクラスに対して、半径 $ (\sqrt{5} - 1)/2 \approx 0.618 $ が鋭鋭か？

主な発見

• 単位円板内で $ |f(z)| \leq 1 $ を満たす奇数正則関数に対するボール半径は、正確に $ r_2 = 0.789991\ldots $ であり、アリ、バーナード、ソロニンの予想を確認した。
• $ p $-対称関数に対しては、ボール半径 $ r_p $ は方程式 $ -6r^{p-1} + r^{2(p-1)} + 8r^{2p} + 1 = 0 $ の $ (0,1) $ 内の最大正の根として与えられ、極値関数は $ z(z^p - a)/(1 - a z^p) $ である。
• 奇数の単一値関数 $ f $ に対して $ g \prec f $ を満たす関数のボール半径は、少なくとも $ r \approx 0.564 $ である。これは $ r^3 - 2r^2 - r + 1 \geq 0 $ から得られる初期の境界を改善したものである。
• 係数 $ a_1 = 1 $ を満たす奇数の単一値関数のクラスに対して、上界 $ (\sqrt{5} - 1)/2 \approx 0.618 $ は鋭鋭であり、$ f(z) = z/(1 - z^2) $ で達成される。
• 係数 $ |a_1| = \alpha \leq 1 $ を満たす奇数の単一値関数に対して、ボール半径は $ r\_\alpha = \frac{-\alpha + \sqrt{4 + \alpha^2}}{2} $ であり、極値関数は $ \alpha z / (1 - z^2) $ である。
• 奇数の単一値関数に対して、$ \sum |a_{2k-1}| r^{2k-1} \leq \frac{r}{1 - r^2} $ が成り立つ。これは $ \ell^2 $-ノルム制約とロゴシンスキーの定理から導出される。