[論文レビュー] Bohr--Rogosinski radius for analytic functions

I. R. Kayumov, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、単位円板上の正則関数に対して、関数の絶対値とテイラー係数の尾部和を組み合わせることで、古典的なボーアとロゴシンスキーの不等式を一般化するボーア-ロゴシンスキー半径を導入し、その性質を調査する。著者らは、$ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ を満たす半径 $ r $ の鋭い上限を確立し、それぞれ $ 2(1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ および $ (1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ を解いて得られる正確な半径を導出する。さらに、距離関数を用いた境界からの距離の定式化により、被約関数や単葉写像への概念の拡張を実現する。

ABSTRACT

There are a number of articles which deal with Bohr's phenomenon whereas only a few papers appeared in the literature on Rogosinski's radii for analytic functions defined on the unit disk $|z|<1$. In this article, we introduce and investigate Bohr-Rogosinski's radii for analytic functions defined for $|z|<1$. Also, we prove several different improved versions of the classical Bohr's inequality. Finally, we also discuss the Bohr-Rogosinski's radius for a class of subordinations. All the results are proved to be sharp.

研究の動機と目的

• 単位円板上の正則関数の $ |f(z)| $ とテイラー係数の尾部和を組み合わせた新しい量、ボーア-ロゴシンスキー和を定義・分析すること。
• ボーアとロゴシンスキーの古典的不等式を統一的な半径概念を導入することで一般化し、両者の現象を補間する。
• 単位円板内での $ |f(z)| < 1 $ を仮定したもとで、不等式 $ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ を満たす鋭い半径を確立すること。
• 境界からの距離の定式化を用いて、ボーア-ロゴシンスキー現象を被約関数および単葉写像へと拡張すること。

提案手法

• 単位円板 $ \mathbb{D} $ において $ |f(z)| < 1 $ を満たす正則関数に対して、ボーア-ロゴシンスキー和 $ R_N^f(z) = |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k $ を定義する。
• シュワーツ-ピックの補題とワイエルシュトロームの係数評価を適用し、$ |f(z)| $ と $ |a_k| $ を上から抑え、$ |a_0| $ を含む不等式を導出する。
• 不等式 $ R_N^f(z) \leq 1 $ が $ r \leq R_N $ で成り立つことを保証する鋭い半径 $ R_N $ を、$ \psi_N(r) = 2(1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ の正の解として導出する。
• 関数 $ f(z) = \frac{a - z}{1 - a z} $ の極限 $ a \to 1^- $ を用いて、$ r > R_N $ のとき等号が成立しないことを示し、鋭さを証明する。
• 境界の像領域 $ \partial\Omega $ からの距離 $ \text{dist}(f(z), \partial\Omega) $ を用いて、$ 1 - |f(z)| $ の代わりに、被約関数への一般化を実施する。
• 距離に基づく不等式 $ |g(z)| + \sum_{k=1}^\infty |b_k|r^k \leq |f(0)| + \text{dist}(f(0), \partial\Omega) $ を導出し、$ f $ が単葉写像である場合、$ r \leq 5 - 2\sqrt{6} \approx 0.101 $ の範囲で成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板内で $ |f(z)| < 1 $ を満たすすべての正則関数 $ f $ に対して、$ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ が成り立つ最大の半径 $ r $ は何か？
• RQ2 ボーア-ロゴシンスキー和は、古典的なボーアとロゴシンスキーの現象の間をどのように補間するか？
• RQ3 境界からの距離の定式化を用いて、ボーア-ロゴシンスキー半径を単葉写像または凸写像に従属する関数へと拡張できるか？
• RQ4 関数 $ f $ が単葉写像であるとき、すべての $ g \prec f $ に対して不等式 $ |g(z)| + \sum_{k=1}^\infty |b_k|r^k \leq |f(0)| + \text{dist}(f(0), \partial\Omega) $ が成り立つ最適な半径 $ r_f $ は何か？
• RQ5 導出された半径の鋭さ条件は何か？ また、どの極値関数が等号を達成するか？

主な発見

• ボーア-ロゴシンスキー半径 $ R_N $ は、$ 2(1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ の正の解として得られ、$ r \leq R_N $ の範囲で不等式 $ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ がすべての関数で成り立つ。極値関数 $ f(z) = \frac{a - z}{1 - a z} $ を用いて $ a \to 1^- $ の極限をとることで鋭さが確認される。
• 二乗絶対値版では、半径 $ R_N' $ が $ (1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ の正の解として得られ、$ r \leq R_N' $ で不等式 $ |f(z)|^2 + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ が成り立つ。$ a = \sqrt{3/11} $ および $ r = \sqrt{11/27} $ を用いて鋭さが示される。
• 関数 $ f $ が単葉写像で、$ g \prec f $ であるとき、不等式 $ |g(z)| + \sum_{k=1}^\infty |b_k|r^k \leq |f(0)| + \text{dist}(f(0), \partial\Omega) $ は $ r \leq 5 - 2\sqrt{6} \approx 0.101021 $ の範囲で成り立つ。ケーベ関数 $ f(z) = z/(1-z)^2 $ を用いて鋭さが示される。
• 凸単葉写像の場合は、半径が $ r_f = 1/5 $ に改善され、$ f(z) = z/(1-z) $ に対して鋭さが成立する。係数および距離の推定を用いて境界が確認される。
• 境界からの距離の定式化により、ボーア-ロゴシンスキー現象は単位円板を超えて、任意の単連結領域への写像に対しても一般化可能である。
• すべての導出された半径は鋭さが保証されており、$ r > R_N $、$ R_N' $、または $ r_f $ のとき不等式が成立しないことを示す明示的な極値関数が構成されている。