[論文レビュー] Bohr-Sommerfeld-Heisenberg Quantization of the 2-dimensional Harmonic Oscillator

Richard Cushman, Jędrzej Śniatycki|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Bohr-Sommerfeld-Heisenberg規則を用いた2次元調和振動子の幾何的量子化を提示し、$S^1$および$ \mathbb{Z}_2$対称性による還元を施している。Bohr-Sommerfeldトーラスから量子ヒルベルト空間を構成し、還元系が有限次元の$ \mathrm{su}(2)$の既約表現を生じることを示している。完全に還元された系は、エネルギー$e = \hbar q$の量子状態上で$q+1$次元の$ \mathrm{su}(2)$表現を実現する。この手法により、幾何的量子化と作用角変数を介した古典的可積分系と量子代数の間の対応関係が確立される。

ABSTRACT

We study geometric quantization of the harmonic oscillator in terms of a singular real polarization given by fibres of the energy momentum map.

研究の動機と目的

• 完全可積分系に対してBohr-Sommerfeld-Heisenberg規則に基づく幾何的量子化フレームワークを構築すること。
• このフレームワークを2次元調和振動子およびその対称性による還元系に適用すること。
• 還元系が有限次元の$ \mathrm{su}(2)$の既約表現を生じることを示すこと。
• 古典的対称性から導かれる量子演算子（上昇・下降演算子）を構成し、それらの代数的閉包を示すこと。
• 古典的作用変数と量子エネルギー準位の間の対応関係を$A_i = m_i \hbar$により確立すること。

提案手法

• エネルギー運動量写像を用いた特異的実極化によりBohr-Sommerfeldトーラスを定義する。
• Bohr-Sommerfeld量子化条件$\int_{\Gamma_i} \theta_W = m_i h$を適用し、許容される量子状態を特定する。
• Bohr-Sommerfeldトーラスに対応する1次元部分空間$\mathfrak{H}_{T_\mathbf{m}}$の直和としてヒルベルト空間$\mathfrak{H}_U$を構成する。
• 基底ベクトル$\mathbf{e}_\mathbf{m}$に作用し、量子数$m_i$をシフトする降下・上昇演算子$\mathbf{a}_i$を定義する。
• $S^1$対称系を$\mathbb{Z}_2$不変系$\overline{D}^2_e$上に還元し、還元された位相空間にポisson構造を導入する。
• $\tau_\pm = \frac{1}{i\hbar}(\tau_1 \pm i\tau_2)$として滑らかな関数を導入し、$\mathrm{su}(2)$代数的交換関係を満たす量子演算子を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bohr-Sommerfeld-Heisenberg量子化手順を2次元調和振動子に体系的に適用する方法は何か？
• RQ2 $S^1$対称性による還元を施した2次元調和振動子の後、どのような量子表現が生じるか？
• RQ3 さらに$\mathbb{Z}_2$対称性による還元は、量子構造および系の代数的閉包にどのように影響するか？
• RQ4 古典的対称性から導かれる量子演算子は、あるリー代数の下で閉じるか。もしそうなら、どの代数か？
• RQ5 量子ヒルベルト空間の次元およびその既約表現への分解は何か？

主な発見

• Bohr-Sommerfeld-Heisenberg量子化により、正規直交基底ベクトル$\mathbf{e}_\mathbf{m}$で張られるヒルベルト空間$\mathfrak{H}_U$が得られ、$\mathbf{e}_\mathbf{m}$は作用量子数$m_i\hbar$に対応する。
• $S^1$還元後、量子ヒルベルト空間$\widehat{\mathfrak{H}}_q$は$q+1$次元であり、$\mathrm{su}(2)$の有限次元既約表現を実現する。
• 量子演算子$\mathbf{Q}_{\tau_+}$および$\mathbf{Q}_{\tau_-}$は、$\widehat{\mathfrak{H}}_q$上で上昇・降下演算子として作用し、$1 \leq m \leq q$に対して係数$c_m = i\hbar\sqrt{2m(m-1)}$を有する。
• $\overline{D}^2_e$上での$\tau_1, \tau_2, \widehat{A}$が生成するポisson代数は$\mathrm{su}(2)$に同型であり、構造定数$\{\tau_+, \tau_-, \widehat{A}\}$は$\mathrm{su}(2)$交換関係を満たす。
• 完全に還元された系は、エネルギー$e = \hbar q$に対応する、$\widehat{\mathfrak{H}}_q$上で1つの既約$\mathrm{su}(2)$表現（次元$q+1$）を実現する。
• 量子演算子$\mathbf{Q}_{{\mathrm{e}}^{\pm i\widehat{\vartheta}}}$は滑らかな関数$\tau_\pm$に置き換えられ、還元位相空間上での一貫した量子化が可能になる。