[論文レビュー] Bohr-Sommerfeld quantization condition for non-selfadjoint operators in dimension 2

Anders Melin, Johannes Sjoestrand|ArXiv.org|Nov 28, 2001

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全可積分性を仮定しない2次元の非自己共役 $h$-擬微分作用素に対して、ボーア＝ソルマーfeldの量子化条件を確立する。複素領域におけるKAM型定理を用いて複素ラグランジュ的 foliation を構成し、小さな非線形性を持つコーシー＝リーマン方程式を解くことで、固定された $h$-依存の領域内の固有値が実作用の量子化条件によって決定されることを示し、半古典的スペクトル理論を非自己共役設定へと拡張する。

ABSTRACT

For a class of non-selfadjoint h-pseudodifferential operators in dimension 2, we determine all eigenvalues in an h-independent domain in the complex plane and show that they are given by a Bohr-Sommerfeld quantization condition. No complete integrability is assumed, and as a geometrical step in our proof, we get a KAM-type theorem (without small divisors) in the complex domain.

研究の動機と目的

• 複素平面上の $h$-依存のない領域内で、2次元の非自己共役 $h$-擬微分作用素のすべての固有値を特定すること。
• 基礎的な古典的系の完全可積分性を仮定しないで、これらの固有値に対するボーア＝ソルマーfeld型の量子化条件を導出すること。
• 複素領域におけるKAM型定理を用いて、実トーラス $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ の近傍における $p^{-1}(0)$ の複素ラグランジュ的 foliation を構成すること。
• 固有値が、$\sigma|_\Gamma = 0$ を満たすトーラス $\Gamma \subset \mathbb{C}^4$ 上の実作用 $I_j(\Gamma)$ によって決定されることを示すこと。
• スペクトル問題と関数 $I(\Lambda) = \int_\Lambda \log|p| \, \mu$ を含む変分原理との関係を確立すること。

提案手法

• 複素パrameter $a$ に関して正則に依存する、$\sigma|_{\Gamma_a} = 0$ かつ $I_j(\Gamma_a) \in \mathbb{C}$ を満たす2次元トーラス $\Gamma_a \subset p^{-1}(0) \cap \mathbb{C}^4$ の滑らかな族を構成すること。
• $L_a = \{ \exp(\widehat{tH_p})(\rho) \mid \rho \in \Gamma_a, \, t \in \mathbb{C}, \, |t| < 1/C \} $ を定義し、これは $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ の近傍における $p^{-1}(0)$ の正則 foliation をなす。
• $\Gamma_a$ の構成を、トーラス上で単値関数の勾配（grad-周期的関数）を持つ多価関数のハミルトン＝ジャコビ方程式への還元すること。
• ハミルトン＝ジャコビ方程式を、小さな非線形性を持つ複素コーシー＝リーマン方程式に変換し、非整数 $C^m$-空間における反復法で解けるようにすること。
• 作用 $I_j(\Gamma)$ の実数性を用いて、$\mathbb{R}^4$ に近い $\mathbb{C}^4$ 内の実ラグランジュ多様体 $\Lambda$ が $\Gamma$ を含むことの存在を保証すること。
• スペクトル行列式に対する漸近解析とテイラー展開を適用し、共鳴が $h$ のべき級数としてのボーア＝ソルマーfeld型展開 $z \sim \sum_{j=0}^\infty K_j(2\pi h(k - \theta_0), 1) h^j$ を満たすことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全可積分性を仮定しない2次元の非自己共役作用素に対し、ボーア＝ソルマーfeld量子化条件を導出することは可能か？
• RQ2 古典的フローが実レベル集合に僅かに接する場合、$p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ の近傍における $p^{-1}(0)$ の複素ラグランジュ的 foliation をどのように構成できるか？
• RQ3 作用 $I_j(\Gamma)$ の実数性が、$\Gamma$ を含む実ラグランジュ多様体 $\Lambda$ の存在を保証する役割は何か？
• RQ4 作用素のスペクトル漸近展開は、複素ラグランジュ的 foliation および作用変数の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ5 スペクトル展開が、$2\pi h(k - \theta_0)$ の同次多項式を係数とする $h$ の形式的べき級数として示せるか？

主な発見

• 完全可積分性を仮定しない非自己共役作用素の $h$-依存のない領域内の固有値は、ボーア＝ソルマーfeld量子化条件によって与えられる。
• $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ の近傍に、複素パrameter $a$ に関して正則に依存する複素ラグランジュ的 foliation $L_a$ が構成される。
• $\sigma|_\Gamma = 0$ かつ $I_j(\Gamma) \in \mathbb{R}$ を満たすトーラス $\Gamma \subset \mathbb{C}^4$ の存在は、$\Gamma$ を含む実ラグランジュ多様体 $\Lambda$ の存在と同値である。
• スペクトル漸近展開が $z \sim \sum_{j=0}^\infty K_j(2\pi h(k - \theta_0), 1) h^j$ の形をしていることが示され、ここで $K_j(\theta, 1)$ は $0$ の $j$ に依存しない近傍で滑らかである。
• 展開における係数 $K_{j,\ell}$ は次数 $1 + \ell - j$ の同次多項式であり、差 $F_{j,\ell} = K_{j,\ell} - \widetilde{K}_{j,\ell}$ が無限に高次の零点を持つため、$K_{j,\ell}$ は一意に定まる。
• 最終的なスペクトル展開が、$2\pi h(k - \theta_0)$ の滑らかな関数を係数とする $h$ の形式的べき級数として示され、ボーア＝ソルマーfeld構造が確認された。