[論文レビュー] Bohr-Sommerfeld quantization conditions for non-selfadjoint perturbations of selfadjoint operators in dimension one

Ophélie Rouby|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、1次元における自己随伴 $\hbar$-擬微分作用素の非自己随伴摂動について、ボーア＝ソルマーfeldの量子化条件を確立する。固有値が複素作用積分にマスロフ指数および準主項の補正を加えた形で漸近的に与えられることを示し、複素マイクロ局所解析とグルシント問題を組み合わせた手法により、半古典的スペクトル理論を非自己随伴設定へ拡張する。この理論は $\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称作用素への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we give a description of the spectrum of a class of non-selfadjoint perturbations of selfadjoint operators in dimension one and we show that it is given by Bohr-Sommerfeld quantization conditions. To achieve this, we make use of previous work by Michael Hitrik, Anders Melin and Johannes Sj{\\"o}strand. We also give an application of our result in the case of PT-symmetric pseudo-differential operators.

研究の動機と目的

• 1次元における自己随伴 $\hbar$-擬微分作用素の非自己随伴摂動のスペクトルを、半古典的極限において記述すること。
• 標準的な自己随伴スペクトル理論が失敗する非自己随伴設定へ、ボーア＝ソルマーfeldの量子化条件を拡張すること。
• パラメータ $\hbar$ および小さなパラメータ $\epsilon$ の関数として、固有値の厳密な漸近的記述を提供すること。複素作用積分とマスロフ補正を含む。
• $\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称擬微分作用素への応用を示し、非自己随伴性にもかかわらず実スペクトルを有する可能性を示すこと。
• 有限次元の作用素の切断を用いたスペクトル計算により、理論的結果を数値的に検証すること。$L^2(\mathbb{R})$ および $L^2(\mathbb{S}^1)$ 上の作用素に対して実施。

提案手法

• 1次元における自己随伴作用素の非自己随伴摂動のスペクトル的性質を、複素マイクロ局所解析を用いて研究する。
• グルシント問題を適用し、全作用素のスペクトル解析をモデル作用素上の有限次元問題に還元する。
• 小さなパラメータ $\epsilon$ に滑らかに依存する記号のホイール量化を用い、摂動 $i\epsilon Q^\epsilon_\hbar$ が自己随伴性を破ることを考慮する。
• 固有値の $\hbar$ のべき級数としての漸近展開を導出し、主要項は位相空間上のループ $\gamma_E$ を通る複素作用積分の逆数で与えられる。
• 作用角座標を導入し、トーラス上で摂動記号を平均化することで、有効スペクトル関数 $g^\epsilon(\tilde{I})$ を計算する。
• 作用素を有限次元行列に切断し、計算されたスペクトルと理論的ボーア＝ソルマーfeld条件を比較することで、結果の妥当性を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元における自己随伴 $\hbar$-擬微分作用素の非自己随伴摂動の固有値は、半古典的極限においてどのように振る舞うか？
• RQ2 ボーア＝ソルマーfeldの量子化条件は、非自己随伴作用素へ一般化可能か？その形はどのようなものか？
• RQ3 複素作用積分、マスロフ指数、準主項は、このような作用素のスペクトル漸近挙動においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称性が、半古典的領域におけるスペクトルの実数性および分布に与える影響は何か？
• RQ5 数値的近似によるスペクトルは、理論的ボーア＝ソルマーfeld予測とどの程度一致するか？特に調和振動子のスペクトルと比較して。

主な発見

• 非自己随伴作用素 $F^\epsilon_\hbar + i\epsilon Q^\epsilon_\hbar$ のスペクトルは、複素作用積分、マスロフ指数、準主項補正を含むボーア＝ソルマーfeld条件によって漸近的に記述される。
• 固有値展開の主要項は、主記号のエネルギー等高線上のループ $\gamma_E$ を通る複素作用積分 $\int_{\gamma_E} \alpha_0$ の逆数で与えられる。
• 固有値は $E = \hbar k + \mathcal{O}(\hbar^2)$ ($k \in \mathbb{Z}$) の形で漸近的に与えられ、スペクトルを支配する関数 $g^\epsilon(\tilde{I})$ は $\epsilon$ および $\hbar$ に関して解析的展開をもつ。
• $\mathcal{P}\mathcal{T}$-対称作用素に対しては、適切な条件下で実固有値が得られる可能性を示し、ボーア＝ソルマーfeld則の適用範囲を拡張する。
• 数値的結果から、マスロフ指数を適切に取り入れた場合、理論的ボーア＝ソルマーfeld予測が調和振動子のスペクトルよりも計算されたスペクトルとよく一致することが示された。
• $L^2(\mathbb{R})$ 上でのFock空間およびバーグマン変換を用いた数値実装は、理論的枠組みを確認しており、特に調和振動子の多項式的摂動に対して有効である。