[論文レビュー] Bohr-Sommerfeld quantization rules revisited: the method of positive commutators

Abdelwaheb Ifa, H. Louati+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の交換子と微局所解析の手法を用いて、1次元自己共役 $h$-擬微分作用素に対するボーア＝ソルマーfeldの量子化則を再考する。この理論は、WKB解のグラム行列がフラックスノルムのもとで非可逆である場合に限り、量子化則が成立することを確立し、ボゴリューボフ＝デギエンス系のような行列値ハミルトニアンへの一般化が可能である枠組みを提供する。また、作用角変数を用いて2次補正項を明示的に導出する。

ABSTRACT

We revisit the well known Bohr-Sommerfeld quantization rule (BS) for a 1-D Pseudo-differential self-adjoint Hamiltonian within the algebraic and microlocal framework of Helffer and Sjöstrand; BS holds precisely when the Gram matrix consisting of scalar products of some WKB solutions with respect to the "flux norm" is not invertible. The interest of this procedure lies in its possible generalization to matrix-valued Hamiltonians, like Bogoliubov-de Gennes Hamiltonian. It is simplified in the scalar case by using action-angle variables.

研究の動機と目的

• Helffer-Sjöstrand枠組み内での微局所的・代数的技法を用いて、2次ボーア＝ソルマーfeldの量子化則を再導出すること。
• フラックスノルム下でのWKB解のグラム行列の非可逆性に基づく固有値存在条件を確立すること。
• 標準的手法が失敗するボゴリューボフ＝デギエンス作用素を含む行列値ハミルトニアンへのこの手法の一般化。
• 作用角変数の導入によりスカラーの場合を単純化し、明快性と適用可能性を向上させること。

提案手法

• 微局所解析と正の交換子理論を用いて、準モードのヒルベルト空間を形成するヘルミートベクトルバンドルを構成する。
• 微局所的核 $K_h(E)$ を $P - E$ に対して ${\cal O}(h^\infty)$ の誤差を除いて定義し、周期的軌道に微局所的に台を持つ解に注目する。
• フラックスノルムを用いてWKB解のグラム行列を構成し、その可逆性がグローバルな準モードの存在を決定づける。
• 半古典的作用 $\mathcal{S}_h(E)$ を、古典的作用、マスロフ補正、$p_1$, $p_2$, ヘッセ行列式 $\Delta$ を含む2次項に分解する。
• 作用角変数の使用により、スカラーの場合の力学を1つの周期的変数に還元し、グローバル解の構成を容易にする。
• この手法は、微局所的ロンスキアンとハミルトニアンフロー下での周波数集合の不変性に依拠しており、チャート間での一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $h$-擬微分作用素に対して2次までのボーア＝ソルマーfeldの量子化則が成立する条件は何か？
• RQ2 固有値条件は、フラックスノルム下でのWKB解のグラム行列の可逆性という形でどのように再定式化できるか？
• RQ3 この手法は、ボゴリューボフ＝デギエンス系のような行列値ハミルトニアンへ拡張可能か？
• RQ4 微局所的ロンスキアンとフラックスノルムは、準モードを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 作用角変数は、スカラーの場合の2次ボーア＝ソルマーfeld則の導出をどのように簡略化するか？

主な発見

• 2次ボーア＝ソルマーfeldの量子化則は、WKB解のフラックスノルムに関するグラム行列が非可逆である場合に限り成立する。
• 半古典的作用 $\mathcal{S}_h(E)$ は漸近展開 $S_0(E) + hS_1(E) + h^2S_2(E) + \cdots$ を持ち、$S_2(E)$ はヘッセ行列式 $\Delta$、$p_2$、$p_1^2$ 項の組み合わせとして明示的に与えられる。
• マスロフ補正 $\pi$ と準主項 $-\int p_1\,dt$ は $S_1(E)$ に現れ、標準的な幾何的量子化と整合的である。
• 2次項 $S_2(E)$ には、エネルギー面の曲率効果を記述する導関数項 $\frac{1}{24}\frac{d}{dE}\int_{\gamma_E}\Delta\,dt$ が含まれる。
• 標準的手法が失敗する、ボゴリューボフ＝デギエンス系のような二重特徴を持つ行列値ハミルトニアンに対しても、この手法は安定的に拡張可能である。
• スカラーの場合における作用角変数の使用により、2次における量子化則の導出が簡素化され、より明確な形で得られる。