[論文レビュー] Boltzmann's Entropy and Kähler-Ricci Solitons

Frederick Fong|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、統計力学に由来するボルツマン型エントロピー関数 $χ$ から導かれる、勾配ケーラー・リッチ・ソリトンの安定性が示されている。$χ$ の第二変分を計算し、ソリトンにおいてそれが非正であることを示すことにより、著者らはペレラマンの $μ$-関数に対する勾配収縮ケーラー・リッチ・ソリトンの安定性について、新たな証明を与える。この証明は、$χ$ が $μ$-関数の上界をなしており、ソリトンにおいて等号が成立することを活用している。

ABSTRACT

We study a Boltzmann's type entropy functional (which appeared in existing literature) defined on Kähler metrics of a fixed Kähler class. The critical points of this functional are gradient Kähler-Ricci solitons, and the functional was known to be monotonically increasing along the Kähler-Ricci flow in the canonical class. In this article, we derive and analyze the second variation formula for this entropy functional, and show that all gradient Kähler-Ricci solitons are stable with respect to this entropy functional. Furthermore, using this result, we give a new proof that gradient shrinking Kähler-Ricci solitons are stable with respect to the Perelman's entropy in a fixed Kähler class.

研究の動機と目的

• 固定されたケーラー類内のケーラー潜在関数に定義されたボルツマン型エントロピー関数 $χ$ の第二変分を分析すること。
• 勾配ケーラー・リッチ・ソリトンがこのエントロピー関数に対して安定であることを確立すること。
• エントロピー関数 $χ$ を上界として用いることで、ペレラマンの $μ$-関数に対する勾配収縮ケーラー・リッチ・ソリトンの安定性についての新たな証明を提供すること。
• ケーラー・リッチ・フローに沿った $χ$ の単調性とリッチポテンシャルの一様有界性、およびソリトンの存在との関係を明らかにすること。

提案手法

• エントロピー関数 $χ(\varphi) = \frac{1}{[\omega_0]^n} \int_X f_\varphi e^{-f_\varphi} \omega_\varphi^n$ を定義する。ここで $f_\varphi$ はリッチポテンシャルであり、$\lambda \omega_\varphi - \text{Ric}(\omega_\varphi) = \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}f_\varphi$ を満たす。
• $χ$ を確率測度 $d\nu_\varphi = e^{-f_\varphi} \omega_\varphi^n / [\omega_\varphi]^n$ および $d\mu_\varphi = \omega_\varphi^n / [\omega_\varphi]^n$ に関するボルツマンエントロピー $-\int \log(d\nu_\varphi/d\mu_\varphi) d\nu_\varphi$ として表現する。
• 滑らかな $\psi$ に対して $\u03c7(\varphi + t\psi)$ の $t=0$ における第二変分を導出し、勾配ケーラー・リッチ・ソリトンにおいてそれが非正であることを示す。
• $\u03c7(\varphi + t\psi) + 2n(\tau_0 - 1)$ が、経路 $g + t\nabla\bar{\nabla}\psi$ 沿いでのペレラマンの $\mu$-関数の上界であることを示し、$\omega_\varphi$ がソリトンであるとき $t=0$ で等号が成立することを示す。
• $\u03c7$ の第二変分の非正性を用いて、$\mu$ の第二変分の非正性を導出し、Tian–Zhuの安定性結果を再確認する。
• $\u03c7$ が正規化ケーラー・リッチ・フローに沿って単調増加であり、ジャンセンの不等式を用いて有界であることを活用し、$f_\varphi$ に対する一様下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルツマン型エントロピー関数 $\u03c7$ は、ケーラー潜在関数の変動に対して勾配ケーラー・リッチ・ソリトンで安定しているか？
• RQ2 $\u03c7$ の第二変分は計算可能であり、ソリトンにおいて非正であることを示せるか？ その結果、安定性が保証されるか？
• RQ3 $\u03c7$ はペレラマンの $\mu$-関数の上界として機能するか？ そして、ソリトンにおいて等号が成立するか？
• RQ4 $\mu$-関数に対する勾配収縮ケーラー・リッチ・ソリトンの安定性を、$\u03c7$ の第二変分を用いて再証明できるか？
• RQ5 ケーラー・リッチ・フローに沿った $\u03c7$ の単調性とリッチポテンシャルの有界性との関係は何か？

主な発見

• 勾配ケーラー・リッチ・ソリトンにおけるエントロピー関数 $\u03c7$ の第二変分は非正であり、これによりすべてのソリトンが $\u03c7$ に対して安定であることが証明された。
• $\u03c7(\varphi + t\psi)$ は、経路 $g + t\nabla\bar{\nabla}\psi$ 沿いでのペレラマンの $\mu$-関数の上界をなしており、$\omega_\varphi$ がソリトンであるとき $t=0$ で等号が成立する。
• $\mu$ の第二変分は $\u03c7$ の第二変分によって上から抑えられるため、後者の非正性から前者の非正性が従い、Tian–Zhuの安定性結果の新たな証明が得られた。
• $\u03c7$ の臨界点は正確に勾配ケーラー・リッチ・ソリトンであり、$\text{Ric}(\omega_\varphi) + \nabla^2 f_\varphi = \lambda \omega_\varphi$ を満たす。
• 正規化ケーラー・リッチ・フローに沿った $\u03c7$ の単調性から、リッチポテンシャル $f_\varphi$ に対する一様下界が得られ、これは一様な直径およびスカラー曲率の有界性の存在に十分である。
• $\mu$ の第二変分が 0 になるのは、$\nabla\psi$ が実正則ベクトル場であるときであり、これはソリトンが正則ベクトル場の変形に対して既知の剛性を示すことに一致する。