[論文レビュー] Boltzmann's Entropy and Large Deviation Lyapunov Functionals for Closed and Open Macroscopic Systems

Joel L. Lebowitz|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉じた系および開放系のマクロな系における定常測度の大偏差関数（LDF）が、それらのマクロな進化方程式のリャプノフ関数として機能することを確立している。平衡状態および非平衡定常状態におけるボルツマンエントロピーとLDFを結びつけることで、LDFがマクロな軌道に沿って単調に増加することを示し、孤立系および熱または粒子バスタッチの熱浴に接続された開放系における熱力学第二法則の厳密な動的根拠を提供する。

ABSTRACT

I give a brief overview of the resolution of the apparent problem of reconciling time symmetric microscopic dynamic with time asymmetric equations describing the evolution of macroscopic variables. I then show how the large deviation function of the stationary state of the microscopic system can be used as a Lyapunov function for the macroscopic evolution equations.

研究の動機と目的

• 時間対称な微視的運動方程式から生じる時間非対称なマクロ的挙動のパラドックスを解消すること。
• マクロ系の定常状態におけるボルツマンエントロピーと大偏差関数（LDF）の間の関係を確立すること。
• LDFが閉じた系および開放系の両方におけるマクロな進化方程式のリャプノフ関数として機能することを示すこと。
• 複数のバスタッチに接続された系に対して第二法則を一般化し、複数のバスタッチに接続された系におけるリャプノフ関数を同定すること。

提案手法

• マクロな進化方程式の候補リャプノフ関数として、定常測度の大偏差関数（LDF）を用いる。
• 孤立系の場合、LDFは相対ボルツマンエントロピーの負に等しく、S_B(M) - S_B(M_eq) であり、これは平衡に向かって単調に増加する。
• 単一の熱浴に接続された開放系の場合、LDFは F(M) = [E - T̄S_le]/T̄ で与えられ、これは正準集合の相対エントロピーの負に等しい。
• ナビエ–ストークス方程式や反応拡散型方程式に従う系にLDFを適用し、LDFがマクロな軌道に沿って減少することを示す。
• 粒子バスタッチを有するゼロレンジ過程などのモデルにおける非平衡定常状態（NESS）の明示的リャプノフ関数を構築する。
• LDF関数の時間微分を導出し、それが非負であることを証明することで、リャプノフ性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常測度の大偏差関数（LDF）は、マクロな進化方程式のリャプノフ関数として機能できるか？
• RQ2 平衡状態および非平衡定常状態におけるボルツマンエントロピーとLDFの関係は何か？
• RQ3 複数のバスタッチを有する開放系における第二法則の適切な一般化は何か？
• RQ4 非平衡系において、LDFが明示的に計算可能であり、マクロな軌道に沿って単調に減少することが示せるか？

主な発見

• 孤立系における定常測度の大偏差関数（LDF）は、相対ボルツマンエントロピーの負に等しく、S_B(M) - S_B(M_eq) であり、マクロな進化に対してリャプノフ関数として機能する。
• 温度 T̄ の単一の熱浴に接続された系では、LDF F(M) = [E - T̄S_le]/T̄ がリャプノフ関数であり、その時間微分が非負であることが確認され、エントロピー生成が裏付けられる。
• 異なる密度の粒子バスタッチを有するゼロレンジ過程におけるLDFは、F(σ) = ∫_V F_u(σ(x)) dx として明示的に構築され、その時間微分が非負であることが示された。
• ナビエ–ストークス方程式におけるLDFはリャプノフ関数であることが示され、第二法則が流体力学的スケールの進化に一般化された。
• 複数の熱浴に接続された系では、全エントロピー生成が非負であり、非平衡定常状態（NESS）のLDFがリャプノフ関数として機能する。
• 混合境界条件（ディリクレ/ノイマン）を有する系および ∂_t ρ = ∇²σ(ρ) - E∇σ(ρ) のような場の理論に対しても、LDFの単調性が確認された。