[論文レビュー] Bombieri--Vinogradov and Barban--Davenport--Halberstam type theorems for smooth numbers

Adam J. Harper|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、$y$-smooth数について、$\log^K x \leq y \leq x$ の範囲でBombieri–VinogradovおよびBarban–Davenport–Halberstam型定理を確立した。従来の結果では $y \geq \exp(\log^{2/3+\epsilon}x)$ を要件としていたが、これを拡張したものである。零点密度推定と直接的な大スクリーン法の組み合わせにより、smooth数上のcharacter和に対する有効な境界を達成し、有効範囲を著しく拡大するとともに、平方根キャンセレーションを達成する個々の推定を得た。

ABSTRACT

We prove Bombieri--Vinogradov and Barban--Davenport--Halberstam type theorems for the y-smooth numbers less than x, on the range log^{K}x \leq y \leq x. This improves on the range \exp{log^{2/3 + ε}x} \leq y \leq x that was previously available. Our proofs combine zero-density methods with direct applications of the large sieve, which seems to be an essential feature and allows us to cope with the sparseness of the smooth numbers. We also obtain improved individual (i.e. not averaged) estimates for character sums over smooth numbers.

研究の動機と目的

• 従来の $\exp(\log^{2/3+\epsilon}x)$ の閾値を超えて、$y$-smooth数に対するBombieri–VinogradovおよびBarban–Davenport–Halberstam型定理の有効範囲を拡張すること。
• smooth数上の平均的および個々のcharacter和に対して有効かつ無効な境界を確立し、平方根キャンセレーションを達成すること。
• $y$ が小さい場合のsmooth数の疎らさに対処するため、零点密度法と直接的大スクリーン法を組み合わせること。
• 平均的境界にとどまらず、個々のcharacter和に対する改善された推定を提供すること。
• 特に $\log^K x \leq y \leq x$ の範囲で、smooth数の疎らさを扱う際に大スクリーン法が不可欠であることを示すこと。

提案手法

• Dirichlet $L$-関数の零点密度推定を用いて、例外的零点を制御し、smooth数上のcharacter和の境界を改善する。
• smooth数を疎らな集合として扱い、大スクリーン法を直接適用する。これは $\log^K x \leq y \leq x$ の範囲における疎らさを扱うために不可欠である。
• $L$-関数の明示公式と部分和法を用いて、重み付きcharacter和、特に $\sum_{n \leq X} \Lambda(n)\chi(n)/n^{it}$ の境界を求める。
• 局所的推定を適用するために、$n$ に関する和を二重区間 $[2^j z^{1/100}, 2^{j+1} z^{1/100}]$ にdyadic分解する。
• 第一のケースではlog-free零点密度推定を、第二のケースでは標準的な零点分布境界を用いて、$L$-関数の非自明零点に関する和を制御する。
• $L(s,\chi)$ の関数等式を用いて、$L'(it,\chi)/L(it,\chi)$ を $L'(1-it,\bar{\chi})/L(1-it,\bar{\chi})$ に結びつけることで、対数微分の有効な境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bombieri–VinogradovおよびBarban–Davenport–Halberstam型定理は、$\log^K x \leq y \leq x$ の範囲における $y$-smooth数について拡張可能か？
• RQ2 特に $y$ が小さい場合に、大スクリーン法はsmooth数のような疎らな集合に対して有効か？
• RQ3 標準的な零点密度手法が無効な場合でも、smooth数上のcharacter和に対して有効な境界を得られるか？
• RQ4 平均的な分布が成り立つ $Q$ の最適範囲は何か？
• RQ5 smooth数上の個々のcharacter和推定は平方根キャンセレーションを達成可能か？また、平均的場合と比べてどうか？

主な発見

• Bombieri–Vinogradov型定理は、$\log^K x \leq y \leq x$ および $Q \leq \sqrt{\Psi(x,y)}$ に対して成り立ち、$e^{-c u / \log^2(u+1)} + y^{-c}$ を含む有効な誤差項を持つ。ここで $u = \log x / \log y$ である。
• Barban–Davenport–Halberstam型定理に関しては、二乗誤差の和が $\ll \Psi(x,y)^2 (e^{-c u / \log^2(u+1)} + y^{-c}) + \Psi(x,y) Q$ で有界であり、絶対的かつ有効な暗黙的定数を持つ。
• 有効な境界には $\ll \sqrt{\Psi(x,y)} Q \log^{7/2}x$ の項が含まれており、平均和における平方根キャンセレーションを反映している。
• 従来の範囲 $\exp(\log^{2/3+\epsilon}x)$ から $\log^K x$ に拡張されたことにより、smooth数への適用可能性が著しく拡大された。
• 論文は、大スクリーン法が疎らな領域で不可欠であることを示しており、単独での零点密度法の適用では不十分であることを示している。
• 改善された個々のcharacter和推定が得られ、$z$ および $H$ に関する適切な条件下で、$\ll \sqrt{X} \log^2(rzH) + X^{1-0.9\epsilon}$ の形の境界が得られる。