[論文レビュー] Book Embeddings of Graph Products

Sergey Pupyrev|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、パスと有界木幅または有界パス幅をもつグラフとの強いグラフ積におけるスタック数（ブック厚さ）を調査する。著者らは、同時にスタックとキューのレイアウトを用いるという新しい概念を導入し、パスと (i) 有界パス幅をもつグラフ、または (ii) 有界木幅および有界次数をもつ二部グラフとの強い積においてスタック数が有界であることを証明した。これは、非平面的グラフ族やスタックとキューのレイアウトの関係に関する、未解決の問題を解決するものである。

ABSTRACT

A $k$-stack layout (also called a $k$-page book embedding) of a graph consists of a total order of the vertices, and a partition of the edges into $k$ sets of non-crossing edges with respect to the vertex order. The stack number (book thickness, page number) of a graph is the minimum $k$ such that it admits a $k$-stack layout. A $k$-queue layout is defined similarly, except that no two edges in a single set may be nested. It was recently proved that graphs of various non-minor-closed classes are subgraphs of the strong product of a path and a graph with bounded treewidth. Motivated by this decomposition result, we explore stack layouts of graph products. We show that the stack number is bounded for the strong product of a path and (i) a graph of bounded pathwidth or (ii) a bipartite graph of bounded treewidth and bounded degree. The results are obtained via a novel concept of simultaneous stack-queue layouts, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• Open Problem 1 を解決する：$G$ が有界木幅をもつとき、$P_n \boxtimes G$ のスタック数が木幅の関数で有界であるかどうか。
• 特に強い積を対象として、グラフ積の構造的性質を調査し、そのブック埋め込み行動を理解すること。
• グラフ積におけるスタック数とキュー数の関係を確立し、グラフ描画分野における長年の未解決問題に影響を与えること。
• ブック埋め込みを分析するための新しい技術的ツールとして、同時にスタックとキューのレイアウトの概念を導入・活用すること。
• 分解定理を用いて、$k$-平面グラフなどのマイナー閉じていないグラフ族のスタック数の理解に基礎を築くこと。

提案手法

• スタックとキューの両方にエッジを割り当てる「同時にスタック・キューのレイアウト」の概念を導入し、それぞれ非交差および非ネスト制約を満たすようにする。
• 主な構造として、パス $P_n$ と有界パス幅または有界木幅をもつグラフ $G$ の強い積 $P_n \boxtimes G$ を用いる。
• 有界パス幅をもつグラフ $G$ に対して、$P_n \boxtimes G$ のスタック数がパス幅の関数で有界であることを証明する。
• 結果を、有界木幅および有界次数をもつ二部グラフに拡張し、パスとの強い積が有界スタック数をもつことを示す。
• 既知の分解定理（例：Lemma 1）を活用し、$k$-平面グラフが、木幅 $O(k^5)$ をもつ $G$ に対して $P_n \boxtimes G$ の部分グラフであると述べる。
• レイヤードパス幅の枠組みを適用し、レイヤードパス幅 $p$ をもつグラフはスタック数が最大 $4p$ であるという結果と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ が有界木幅をもつとき、$P_n \boxtimes G$ のスタック数が $G$ の木幅の関数で有界であるか。
• RQ2 パスと有界パス幅グラフとの強い積のスタック数は有界に抑えられるか。
• RQ3 パスと有界木幅および有界次数をもつ二部グラフとの強い積は、有界スタック数をもつか。
• RQ4 同時にスタック・キューのレイアウトを用いることで、グラフ積のスタック数に上限を与えることができるか。
• RQ5 $P_n \boxtimes G$ に有界スタック数が存在するならば、$k$-平面グラフに対しても定数のスタック数が得られるか。

主な発見

• 有界パス幅をもつ $G$ に対して、$P_n \boxtimes G$ のスタック数が有界であることが示され、このクラスについて Open Problem 1 に対する肯定的解答が得られた。
• 有界木幅および有界次数をもつ二部グラフ $G$ に対して、$P_n \boxtimes G$ のスタック数が有界であることが示された。
• 著者らは、主な結果を導出するための主要な技術的イノベーションとして、同時にスタックとキューのレイアウトの概念を導入・活用した。
• 結果から、$k$-平面グラフは $G$ が有界木幅をもつ $P_n \boxtimes G$ の部分グラフとして表現できるため、有界スタック数をもつ可能性があると示唆された。
• スタック数とキュー数の関係に関する30年にもわたる未解決問題を解決するという点で、長年の未解決問題が解決された。
• 本研究は、$k$-平面グラフのスタック数が定数で有界であるかどうかという未解決問題に対して、部分的な解決を提供した。