[論文レビュー] Boolean functions whose Fourier transform is concentrated on pairwise disjoint subsets of the input

Aviad Rubinstein, Muli Safra|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、{±1}^m 上のバランスの取れたブール関数が、変数の互いに素な部分集合にわたってフーリエ変換が集中している場合、元の変数が非一様または非ブールであっても、その関数は単一のディクタトーシップ関数に近いことを証明している。この結果は、FKN定理を非一様な設定に拡張し、分散に依存する近似バウンドがタイトであることを示しており、社会選択および計算複雑性に影響を与える。

ABSTRACT

We consider Boolean functions f:{-1,1}^n->{-1,1} that are close to a sum of independent functions on mutually exclusive subsets of the variables. We prove that any such function is close to just a single function on a single subset. We also consider Boolean functions f:R^n->{-1,1} that are close, with respect to any product distribution over R^n, to a sum of their variables. We prove that any such function is close to one of the variables. Both our results are independent of the number of variables, but depend on the variance of f. I.e., if f is ε*Var(f)-close to a sum of independent functions or random variables, then it is O(ε)-close to one of the independent functions or random variables, respectively. We prove that this dependence on Var(f) is tight. Our results are a generalization of the Friedgut-Kalai-Naor Theorem [FKN'02], which holds for functions f:{-1,1}^n->{-1,1} that are close to a linear combination of uniformly distributed Boolean variables.

研究の動機と目的

• 非一様な積分布 {±1}^n 上でのFKN定理を一般化すること、ここで変数は対称的またはブールでない可能性がある。
• ブール関数が互いに素な変数部分集合上で独立関数の和に近い場合、それが単一の関数に近いかどうかを調査すること。
• 近似誤差における関数の分散への依存関係を明確にすること。
• フーリエ係数が互いに素な変数部分集合に制限されるブール関数の構造的特徴づけを調べること。
• このような関数は、各部分集合上で独立関数に適用される中心的なブール関数（例：OR または AND）の合成によってよく近似可能であると仮説を立てる。

提案手法

• 一般積分布の下で、f: {±1}^m → {±1} であるブール関数のフーリエ変換を分析し、係数が互いに素な部分集合に集中していることに注目する。
• 分散に基づく誤差バウンドを用いて、f が ε·Var(f)-close に独立関数の和に近い場合、f は O(ε)-close にそのうちの一つに近いことを示す。
• インフルエンスやノイズ感度といったブール関数解析の技術を用い、フリードギュートのジャンタ・レームを非一様設定に拡張する。
• 近似バウンドにおける分散依存性がタイトであることを示すために、明示的な反例を構築する。
• フーリエサポートが互いに素な部分集合にある関数は、各部分集合上で独立関数に適用される中心関数（OR または AND）によってよく近似可能であるという仮説を提示する。
• 近似誤差を ℓ2-距離（L2 ノルム）で測定し、誤差バウンドを ε と普遍定数の関数として表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FKN定理は、変数が対称的またはブールでない非一様な積分布 {±1}^n に対して拡張可能か？
• RQ2 ブール関数が互いに素な変数部分集合上で独立関数の和に近い場合、それが単一の関数に近いか？
• RQ3 このような設定において、近似誤差が関数の分散にどのように依存するかが最適か？
• RQ4 フーリエ係数が互いに素な変数部分集合に制限されるブール関数の構造的特徴づけは可能か？
• RQ5 このような関数は、各部分集合上で独立関数に適用される中心的なブール関数（例：OR または AND）の合成によってよく近似可能か？

主な発見

• バランスの取れたブール関数 f: {±1}^m → {±1} が、互いに素な変数部分集合にわたってフーリエ変換が集中している場合、f がその部分集合上の独立関数の和に ε·Var(f)-close であるならば、f は O(ε)-close に単一のディクタトーシップ関数に近い。
• 近似バウンドにおける分散依存性は、明示的な反例によってタイトであることが示された。分散スケーリングを改善することは不可能である。
• この結果は、FKN定理を非一様な積分布、特に p-バイアス設定に一般化し、個々の関数がブールでも対称的でもない場合にも適用可能である。
• 任意の積分布の下で、ℝ^n 上の関数が独立確率変数の和に近い場合、f が ε·Var(f)-close にその和に近いならば、f は O(ε)-close にその変数の一つに近い。
• 本論文は、このような関数が、各部分集合上で独立関数に適用される中心関数（OR または AND）によってよく近似可能であると仮説を立てており、ℓ2-誤差は普遍定数を乗じた ε でバウンドされる。
• 構造的仮説は、このような関数の極端な例は、互いに素な部分集合上で独立関数の合成に続くグローバルなブール関数（例：トライブス型関数：AND の OR）であると示唆している。