[論文レビュー] Boolean-like algebras of finite dimension

Antonio Bucciarelli, Antonio Ledda+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、n-項のif-then-else演算とn個の中心的要素を用いて一般化された、有限次元（nBAs）のブールに類似した代数を導入する。ブール積構成を半環の冪へと拡張し、任意の純粋nBAがブールベクトル空間のn中心的要素の代数に同型であることを証明するとともに、1生成子を持つnBAの多様体の任意の元がその生成子のブール積であることを示し、これによりプライマル多様体に関するフォスターの定理の新たな証明が得られる。

ABSTRACT

We continue the investigation of Boolean-like algebras of dimension n (nBA) having n constants e1,...,en, and an (n+1)-ary operation q (a "generalised if-then-else") that induces a decomposition of the algebra into n factors through the so-called n-central elements. Varieties of nBAs share many remarkable properties with the variety of Boolean algebras and with primal varieties. Exploiting the concept of central element, we extend the notion of Boolean power to that of semiring power and we prove two representation theorems: (i) Any pure nBA is isomorphic to the algebra of n-central elements of a Boolean vector space; (ii) Any member of a variety of nBAs with one generator is isomorphic to a Boolean power of this generator. This gives a new proof of Foster's theorem on primal varieties.

研究の動機と目的

• n-項のif-then-else演算とn個の中心的要素を用いて、ブール代数を有限次元構造へ一般化すること。
• nBAsの多様体の普遍代数学的性質を調査し、それらがブール代数やプライマル多様体と共通する重要な特徴を持つことを示すこと。
• ブール積構成を半環の冪へと拡張し、任意の半環上でのnBAsの表現定理を可能にすること。
• nBAsの構造を用いて、フォスターの定理（プライマル多様体に関する）の新たな代数的証明を提供すること。

提案手法

• n個の定数 e₁,…,eₙ と (n+1)項演算 q を備えた代数としてnBAを定義し、n個の中心的要素を介してn個の因子への分解を誘導する。
• 代数 E と半環 R に対して、ある半モジュール内の中心的要素の代数として、E[R] を半環の冪と定義し、ブール積を一般化する。
• R がブール代数であるとき、半環の冪 E[R] が古典的ブール積と同型であることを証明し、従来の理論と整合性を保つ。
• 任意の半環 R に対して、半環の冪 E[R] が R の補完可能で可換な要素のブール代数による E のブール積と同型であることを確立する。
• n中心的要素の構造を用いて、任意の純粋nBA が n^I に埋め込まれることを示し、したがってブールベクトル空間のn中心的要素の代数に同型であることを示す。
• 表現定理を応用し、1生成子を持つnBAの多様体の任意の元がその生成子のブール積に同型であることを証明し、フォスターの定理の新たな証明を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n中心的要素を用いて、ブール代数から任意の半環へのブール積構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 nBAsの多様体が、ブール代数やプライマル多様体と共通するどのような構造的性質を持つのか？
• RQ3 任意の純粋nBAは、ブールベクトル空間におけるn中心的要素の代数として表現可能か？
• RQ4 1生成子を持つnBAの多様体の任意の元は、その生成子のブール積に同型か？
• RQ5 拡張された半環の冪構成は、プライマル多様体に関するフォスターの定理の新たな証明をもたらすか？

主な発見

• 任意の純粋nBA は、ブールベクトル空間のn中心的要素の代数に同型であり、純粋nBAの表現定理が得られる。
• 1生成子を持つnBAの多様体の任意の元は、その生成子のブール積に同型であり、古典的ブール積枠組みが拡張される。
• 半環の冪構成は、任意の半環へのブール積の一般化であり、半環の冪 E[R] は、R の補完可能で可換な要素のブール代数による E のブール積と同型である。
• 半環 R がブール代数であるとき、半環の冪構成は古典的ブール積を回復し、理論的一致性が裏付けられる。
• 純粋nBAの多様体はプライマルである。つまり、n要素の代数上のすべての有限アリティ関数が項で定義可能であり、2要素ブール代数のプライマル性が一般化される。
• 本結果により、フォスターの定理（プライマル多様体に関する）の新たな証明が得られ、任意のプライマル代数によって生成される多様体の任意の代数が、その生成子のブール積に同型であることが示される。