[論文レビュー] Boolean product polynomials and Schur-positivity

Louis J. Billera, Sara Billey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

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ひとこと要約

本稿は、0–1ベクトル上の部分集合和の積として定義されるブール積多項式——対称多項式——のシュール正値性を、フルトン＝ラザルフェルト正値性を介したベクトル bundle の全チャーン類へと関連づけることで確立する。主な結果は、2つのアルファベットを持つ多変数拡張を含め、こうしたすべての多項式が非負整数係数をもってシュール関数に展開されることであり、対称関数論および超平面配置の分野における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study a family of symmetric polynomials that we refer to as the Boolean product polynomials. The motivation for studying these polynomials stems from the computation of the characteristic polynomial of the real matroid spanned by the nonzero vectors in $\mathbb{R}^n$ all of whose coordinates are either $0$ or $1$. To this end, one approach is to compute the zeros of the Boolean product polynomials over finite fields. The zero loci of these polynomials cut out hyperplane arrangements known as resonance arrangements, which show up in the context of double Hurwitz polynomials. By relating the Boolean product polynomials to certain total Chern classes of vector bundles, we establish their Schur-positivity by appealing to a result of Pragacz relying on earlier work on numerical positivity by Fulton-Lazarsfeld. Subsequently, we study a two-alphabet version of these polynomials from the viewpoint of Schur-positivity. As a special case of these polynomials, we recover symmetric functions first studied by Désarménien and Wachs in the context of descents in derangements.

研究の動機と目的

• 定義：$B_{n,k}(X)$ は、$[n]$ の $k$-要素部分集合 $S$ 全体を走る部分集合和 $X_S = \sum_{i \in S} x_i$ の積として定義される $(n,k)$-番目のブール積多項式のシュール正値性を確立すること。
• 2つのアルファベットへの拡張 $\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$ への応用：$X$ の $j$-部分集合と $Y$ の $k$-部分集合に対して、$X_S + Y_T$ の積からなる多項式を定義し、両方の変数においてシュール正値であることを証明すること。
• これらの多項式が共鳴配置、最小バランス集合、超平面配置の領域といった幾何的・組合せ的対象とどのように関連するかを明らかにすること。
• 表現論的関係の探求：$\mathfrak{S}_n$-加群のフロベニウス特徴関数および高次リーモジュールとの関連。
• 組合せ的解釈の検討：ポジトロイドとの関連や、$\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$ の列との関係を明らかにし、ロビンソン＝シェンステッドアルゴリズムの一般化の可能性を示唆すること。

提案手法

• ベクトル bundle の手法を用いる：$B_{n,k}(X)$ を、チャーン根が $x_1, \dots, x_n$ であるランク $n$ のベクトル bundle $\mathcal{E}$ の外冪 $\bigwedge^k \mathcal{E}$ の全チャーン類として解釈する。
• Pragaczの数値的正値性定理を適用する：グローバルに生成されたベクトル bundle の全チャーン類はシュール正値であることを保証する。
• 2つのアルファベットへの一般化：$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y) = \prod_{|S|=j, |T|=k} (X_S + Y_T)$ を定義し、これは $e_p(\bigwedge^j \mathcal{E} \otimes \bigwedge^k \mathcal{F})$ に等しいことを示す。
• 多項式 $\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$ が $\mathfrak{S}_n \times \mathfrak{S}_m$-加群のフロベニウス特徴関数であることに着目し、シュール正値性定理を用いてシュール関数の積への展開を導出する。
• 既知の対称関数の恒等式、特に $\mathcal{P}_{1,1}(X,Y) = \prod_{i,j} (x_i + y_j)$ の双対カウチ恒等式を用いて、組合せ的解釈の動機を提供する。
• 有限体法を用いて、$B_n(X)$ の零点集合を共鳴配置およびその領域と関連づけ、最大非バランス集合や一般化された遅延関数の数え上げに繋げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n$ および $k \leq n$ に対して、ブール積多項式 $B_{n,k}(X)$ はシュール正値であるか？
• RQ2 $B_{n,k}(X)$ のシュール正値性は、ベクトル bundle とチャーン類を用いた幾何的手法によって確立可能か？
• RQ3 2つのアルファベットへの一般化 $\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$ に対しても、両方の変数においてシュール正値な対称関数が得られるか？
• RQ4 次元が $\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$ である $B_{n,n-1}(X;1)$ のフロベニウス特徴関数には、組合せ的または表現論的意味があるか？
• RQ5 ロビンソン＝シェンステッド挿入の一般化のような、組合せ的規則が $\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$ のシュール正値性を説明できるか？

主な発見

• $B_{n,k}(X)$ はシュール正値である：$B_{n,k}(X) = \sum_{\lambda} \kappa_{\lambda}^{(n,k)} s_\lambda(X)$ で、$\kappa_{\lambda}^{(n,k)} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$。
• $B_n(X) = \prod_{k=1}^n B_{n,k}(X)$ である全ブール積多項式もシュール正値であり、共鳴配置の全領域にまで拡張される。
• $\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$ は両方のアルファベットにおいてシュール正値である：$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y) = \sum_{\lambda,\mu} a_{\lambda\mu} s_\lambda(X)s_\mu(Y)$ で、$a_{\lambda\mu} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$。
• $q=1$ のとき、フロベニウス特徴関数 $B_{n,n-1}(X;1)$ は次元 $\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$ の $\mathbb{C}\mathfrak{S}_n$-加群に対応し、$[n]$ 上のポジトロイドを数える。
• $\mathcal{P}_{1,1}(X,Y) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x_i + y_j)$ は双対カウチ恒等式によりシュール正値であり、一般化の出発点としての既知の基底ケースを提供する。
• 本研究は、ブール積多項式と高次リーモジュールとの間の潜在的関係を示唆しており、$B_{n,n-1}(X)$ が、1の長さをもたない部分分割 $\lambda$ に対する $\mathrm{Lie}_\lambda(V)$ のフロベニウス特徴関数の和と一致することから明らかである。