[論文レビュー] Boolean Tensor Decomposition for Conjunctive Queries with Negation

Mahmoud Abo Khamis, Hung Q. Ngo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有界次数の関係に対する結合的関数クエリに否定を含む場合の評価について、新しい手法を提案する。この手法は、元のクエリを等しくないすべて（NAE）述語を含む等価なクエリに再書き換えし、一般化された色分け技術を用いてこれらのNAE述語のブールテンソル分解を実行する。この方法により、最高の陽的クエリアルゴリズム（InsideOutおよびPANDA）と同等のデータ複雑度を達成し、構造的否定関係の場合には多項式時間のクエリ複雑度を実現する。一般の場合には指数時間にとどまることで、従来の手法に比べて顕著な改善をもたらす。

ABSTRACT

We propose an algorithm for answering conjunctive queries with negation, where the negated relations have bounded degree. Its data complexity matches that of the best known algorithms for the positive subquery of the input query and is expressed in terms of the fractional hypertree width and the submodular width. The query complexity depends on the structure of the negated subquery; in general it is exponential in the number of join variables occurring in negated relations yet it becomes polynomial for several classes of queries. This algorithm relies on several contributions. We show how to rewrite queries with negation on bounded-degree relations into equivalent conjunctive queries with not-all-equal (NAE) predicates, which are a multi-dimensional analog of disequality (not-equal). We then generalize the known color-coding technique to conjunctions of NAE predicates and explain it via a Boolean tensor decomposition of conjunctions of NAE predicates. This decomposition can be achieved via a probabilistic construction that can be derandomized efficiently.

研究の動機と目的

• 結合的関数クエリに否定を含む場合の既存のアルゴリズムの高い組み合わせ的複雑度に対処すること、特に否定された関係が有界次数である場合に焦点を当てる。
• InsideOut や PANDA といった最先端の陽的クエリ評価アルゴリズムと同等のデータ複雑度を達成する手法を開発すること。
• 否定された関係の構造的性質を活用することで、否定付き結合的関数クエリのクエリ複雑度を低減すること、特にNAE述語とテンソル分解を通じて行う。
• 色分け手法を任意のNAE述語の結合に一般化する包括的なフレームワークを提供することにより、効率的かつデランダム化された評価を可能にすること。

提案手法

• 有界次数の関係に対する任意の否定付き結合的関数クエリを、等しくないすべて（NAE）述語を含む結合的関数クエリの論理和に等価に再書き換える。
• 確率的構成を用いて、等式の完全グラフ（clique）からの色分け技術を、任意のNAE述語の結合へ一般化する。
• NAE述語の結合をブールテンソル分解として表現し、動的計画法による効率的なクエリ評価を可能にする。
• 線形誤り訂正符号を用いたギルバート＝ヴァルシャモフ境界に基づく符号連結技術を用いて、確率的構成をデランダム化し、線形時間で構築可能な (N, k², k)-完全ハッシュ族を実現する。
• 得られた分解を既存のクエリ評価アルゴリズム（InsideOut および PANDA）と統合し、それらの低データ複雑度の境界を引き継ぐ。
• 得られたフレームワークを用いて、否定された関係の構造に応じた多項式時間のクエリ複雑度を達成する。特に、否定された関係のハイパーグラフが好ましい性質を持つ場合に有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数の関係に対する否定付き結合的関数クエリは、InsideOut や PANDA といった陽的クエリ評価アルゴリズムと同等のデータ複雑度で評価可能か？
• RQ2 色分け技術は、等式の完全グラフを越えて、任意のNAE述語の結合を扱えるように一般化可能か？
• RQ3 ブールテンソル分解は、否定付き結合的関数クエリの効率的評価を可能にする役割を果たすが、その構成とデランダム化はどのように効率的に行えるか？
• RQ4 構造的クラスの否定された関係に対して、クエリ複雑度を多項式時間にまで低減可能か？その挙動を支配するパラメータは何か？
• RQ5 クエリ構造に応じた色数の感度を導入することで、先行研究より洗練された複雑度解析が可能か？

主な発見

• 提案手法は、InsideOut と PANDA と同等のデータ複雑度を達成し、InsideOut を用いると O(f(Q) · log N · (N^{fhtw_F(body)} + |output|))、PANDA を用いると O(f(Q) · (poly(log N) · N^{subw_F(body)} + log N · |output|)) の実行時間境界を達成する。
• 否定された関係のハイパーグラフが好ましい構造を持つ場合、変数の数に対してクエリ複雑度は多項式時間で、最悪ケースでは指数時間にとどまる。
• 本手法は、NAE述語の結合に対する新しいブールテンソル分解を導入し、一般化された色分け技術を可能にする。
• テンソル分解の確率的構成は、符号連結法を用いて効率的にデランダム化可能であり、(N, k², k)-完全ハッシュ族を O(k² log N) のサイズで構築可能で、従来の O(k⁴ log N) の構成より改善されている。
• このフレームワークは、否定された関係を含む結合的関数クエリの和に対しても拡張可能であり、正の関係に対する部分モジュラー幅の度合いに応じたバージョンを統合することで、性能向上が図れる。
• 本手法は、実数上の和積半体に一般化できない。これは、誘導されるkパスクエリの数え上げ版が#W[1]-ハードであるという本質的な計算困難性に起因する。