[論文レビュー] Bootstrap-Based K-Sample Testing For Functional Data

Efstathios Paparoditis, Theofanis Sapatinas|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、関数データ解析におけるK標本検定のための新しいブートストラップベースの手法を提案する。帰無仮説の下で関数データを再サンプリングすることで、さまざまな検定統計量や母集団数において有効性を保証する。有限標本における性能が強く、平均関数または共分散関数の等値性検定について理論的裏付けも与えられており、小標本や正規分布でない状況では漸近近似法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

We investigate properties of a bootstrap-based methodology for testing hypotheses about equality of certain characteristics of the distributions between different populations in the context of functional data. The suggested testing methodology is simple and easy to implement. It resamples the original dataset in such a way that the null hypothesis of interest is satisfied and it can be potentially applied to a wide range of testing problems and test statistics of interest. Furthermore, it can be utilized to the case where more than two populations of functional data are considered. We illustrate the bootstrap procedure by considering the important problems of testing the equality of mean functions or the equality of covariance functions (resp. covariance operators) between two populations. Theoretical results that justify the validity of the suggested bootstrap-based procedure are established. Furthermore, simulation results demonstrate very good size and power performances in finite sample situations, including the case of testing problems and/or sample sizes where asymptotic considerations do not lead to satisfactory approximations. A real-life dataset analyzed in the literature is also examined.

研究の動機と目的

• 再サンプリング中に帰無仮説を満たす一般化されたブートストラップベースの関数データ検定手順を開発すること。
• 小標本または中程度の標本サイズ、非正規分布の状況における漸近近似法の限界を是正すること。
• 複数の母集団（K > 2）および幅広い検定統計量への応用を可能にすること。
• 従来の漸近的および非再サンプリングブートストラップ法と比較して、サイズと検出力の性能を向上させること。
• 関数データにおける平均関数および共分散関数の等値性検定の理論的裏付けがあり、実装可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 元の関数データセットを、帰無仮説を満たすように再サンプリングし、仮定された分布の等値性を満たす擬似観測値を生成する。
• K標本問題の帰無分布を模擬するために、関数観測値を再重み付けまたは再割り当てするブートストラップスキームを用いる。
• 計算のための低次元空間への射影に、関数主成分（FPC）およびカルフネン＝ロイエス展開（KLE）に依存する。
• ブートストラップ標本上で検定統計量を計算し、ブートストラップ分布からの経験的分布により臨界値を導出する。
• 帰無仮説の下で固有値および固有ベクトル推定の収束を制御することにより、条件付き漸近的妥当性を確保する。
• 2標本およびK標本問題の両方に対応し、平均関数および共分散作用素の等値性の検定が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数データの再サンプリング中に帰無仮説を満たすブートストラップベースの検定手順を開発することは可能か？
• RQ2 標本サイズが小さい、または分布が非正規であるような状況において、提案手法の有限標本性能は漸近近似法と比べてどのように異なるか？
• RQ3 2つ以上の母集団を含むK標本問題に一般化可能か？
• RQ4 平均関数の母集団間等値性検定において、ブートストラップ手順は正しいサイズを維持し、良好な検出力を達成するか？
• RQ5 従来の漸近的手法で用いられた統計量を超えた多様な検定統計量へも応用可能か？

主な発見

• 提案されたブートストラップ手法は、漸近近似法が失敗するような状況でも、有限標本において良好なサイズと検出力性能を達成する。
• 弱収束の結果を通じて理論的裏付けが与えられ、検定統計量のブートストラップ分布が真の帰無分布に収束することを示している。
• 2標本およびK標本の両設定において、平均関数および共分散関数の等値性検定に有効である。
• シミュレーション結果から、非正規性や小標本サイズの下で、ブートストラップベースの手法が漸近的手法を上回ること、特にサイズの正確性と検出力の両面で優れていることが示された。
• ガウス分布仮定の違反に対してもロバストであり、関数データおよび検定統計量に関する一般条件の下で有効性を維持する。
• 実データ（メドフィル）データセットへの実応用により、本手法の実世界における関数データ解析における実用的価値および信頼性が確認された。