[論文レビュー] Bootstrap confidence bands for spectral estimation of Lévy densities under high-frequency observations

Kengo Kato, Daisuke Kurisu|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Statistical Methods and Inference参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高頻度離散観測を用いたLévy密度の非パラメトリックスペクトル推定におけるブートストラップ信頼帯を提案する。原点から離れたコンact集合における一様信頼帯のための、新しいガウス乗数ブートストラップおよび経験的ブートストラップ手順を開発し、広範なLévy過程（特にトゥンデッド安定分布および正規逆ガウス過程を含む）に対して、弱い正則性条件のもとで漸近的有効性を確立する。

ABSTRACT

This paper develops bootstrap methods to construct uniform confidence bands for nonparametric spectral estimation of Lévy densities under high-frequency observations. We assume that we observe $n$ discrete observations at frequency $1/Δ> 0$, and work with the high-frequency setup where $Δ= Δ_{n} o 0$ and $nΔ o \infty$ as $n o \infty$. We employ a spectral (or Fourier-based) estimator of the Lévy density, and develop novel implementations of Gaussian multiplier (or wild) and empirical (or Efron's) bootstraps to construct confidence bands for the spectral estimator on a compact set that does not intersect the origin. We provide conditions under which the proposed confidence bands are asymptotically valid. Our confidence bands are shown to be asymptotically valid for a wide class of Lévy processes. We also develop a practical method for bandwidth selection, and conduct simulation studies to investigate the finite sample performance of the proposed confidence bands.

研究の動機と目的

• 高頻度離散観測からのLévy密度の非パラメトリックスペクトル推定量のための一様信頼帯を構築すること。
• 原点付近でLévy測度が特異となる高頻度設定におけるLévy密度に関する推論の課題に対処すること。
• 原点を含まないコンパクト集合におけるスペクトル推定量のための、漸近的有効性を示すガウス乗数ブートストラップおよび経験的ブートストラップを含むブートストラップ手法を開発すること。
• バイアスと分散を有限標本でバランスさせる実用的なバンド幅選択法を提供し、シミュレーションによる有限標本性能を評価すること。
• 複合ポアソン、バリアンスガンマ、逆ガウス、トゥンデッド安定過程を含む広範なLévy過程クラスへの推論ツールの拡張すること。

提案手法

• 特性関数の逆変換を用いたスペクトル（フーリエに基づく）推定量をLévy密度に適用する。
• スペクトル推定量にガウス乗数ブートストラップおよび経験的ブートストラップリサンプリングを適用し、一様信頼帯を構築する。
• Lévy密度における特異性の問題を避けるために、原点から離れたコンパクト区間でブートストラップ手順を実装する。
• バンド幅 $ h $ を用いたカーネルベースのスムージングアプローチを採用し、$ h \gtrsim \Delta^{1/2} $ を満たし、$ h $ と $ n\Delta \to \infty $ を用いてバイアスと分散を制御する。
• 高頻度漸近的枠組み下で、Lévy密度、特性関数、およびサンプリングスキームに関する条件を満たすことで、漸近的有効性を導出する。
• 確率的誤差のブートストラップ近似を制御するため、集中不等式および経験過程論（例：Chernozhukov et al., 2014a）を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高頻度サンプリング下で、Lévy密度のスペクトル推定量のためのブートストラップ手法を用いて、漸近的有効な一様信頼帯を構築できるか？
• RQ2 この非パラメトリックスペクトル推定フレームワークにおいて、ガウス乗数ブートストラップおよび経験的ブートストラップ手順の漸近的有効性を保証する条件は何か？
• RQ3 提案された信頼帯の性能は、バンド幅およびサンプリング周波数の選択にどのように依存するか？
• RQ4 どのようなLévy過程のクラスに対して、提案された信頼帯が漸近的有効であるか？
• RQ5 バイアスと分散を有限標本でバランスさせる実用的なバンド幅選択法を開発できるか？

主な発見

• 提案されたブートストラップ信頼帯は、複合ポアソン、バリアンスガンマ、逆ガウス、および安定指数 ≤ 1 のトゥンデッド安定過程を含む広範なLévy過程クラスに対して漸近的有効である。
• Lévy密度およびバンド幅に関する適切な条件下で、スペクトル推定量の収束速度は $ \|\widehat{\rho} - \rho\|_{w,\infty} = O_{\mathrm{P}}(\chi_n + h^r + h^{-1}|\widehat{\sigma}^2 - \sigma^2|) $ を満たす。
• 追加の正則性およびバンド幅条件のもとで、支配的項 $ \chi_n \lesssim (n\Delta h)^{-1/2}(\log n)^{1/2} $ が収束速度を支配する。
• 経験的ブートストラップおよびガウス乗数ブートストラップの両方が、同一の正則性条件下で漸近的有効な信頼帯をもたらす。
• シミュレーション研究により、有限標本でも良好な性能が確認され、特にデータ駆動型のバンド幅選択法を用いた場合に顕著である。
• ブラウン運動成分の存在に対してもロバストであり、裾が重たいまたは有界なジャンプダイナミクスを示すLévy過程にも適用可能である。