[論文レビュー] Bootstrap for the sample mean and for U-Statistics of stationary processes

Olimjon Sh. Shapirov, Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2009

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、絶対的正規性（β-混合）条件下のサンプル平均およびU統計量に対して、非重複ブロックブートストラップの強い一致性を確立し、強混合過程に限らず非線形関数的統計量のブートストラップ有効性を拡張する。この手法により、弱定常過程におけるジニの平均差やカイ二乗検定統計量などの統計量の信頼性ある推論が可能になる。

ABSTRACT

The validity of various bootstrapping methods has been proved for the sample mean of strongly mixing data. But in many applications, there appear nonlinear statistics of processes that are not strongly mixing. We investigate the nonoverlapping block bootstrap for functionals of absolutely regular processes, which occur from chaotic dynamical systems. We establish the strong consistency of the bootstrap distribution estimator not only for the sample mean, but also for U-statistics, which include examples as Gini’s mean difference or the x 2-test statistic. AMS subject classification: 62G09, 60G10.

研究の動機と目的

• 強混合過程に限らない絶対的正規性（β-混合）過程へのブートストラップ有効性の拡張を目的とする。
• 非線形統計量（例：U統計量）のブートストラップ分布推定器の強い一貫性を確立すること。
• 混合条件が弱い混沌とした力学系における関数的統計量の推論を支援すること。
• U統計量およびサンプル平均を含む実用的応用における非重複ブロックブートストラップの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 絶対的正規性（β-混合）依存構造を有する定常過程に非重複ブロックブートストラップを適用する。
• 重複のないブロックを用いたリサンプリングにより、弱依存構造を保持する。
• β-混合条件下でのブートストラップ分布推定器の漸近的挙動を分析する。
• サンプル平均およびU統計量の両方について、ブートストラップ分布推定器の強い一貫性を確立する。
• 弱収束および経験過程論の道具を用いて、弱依存下での一貫性を証明する。
• ジニの平均差やカイ二乗検定統計量といった具体的なU統計量の例として、関数的統計量を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対的正規性過程におけるサンプル平均に非重複ブロックブートストラップを一貫して適用可能か？
• RQ2 絶対的正規性下でも、U統計量のブートストラップ分布推定器は強い一貫性を保たれるか？
• RQ3 弱依存を示す混沌とした力学系の非線形関数的統計量に対して、ブートストラップは信頼性を持って使用可能か？
• RQ4 強混合過程を超えてU統計量のブートストラップ推論の有効性を保証する条件は何か？
• RQ5 ジニの平均差の推定に非重複ブロックブートストラップは、どのようなサンプリング分布推定において有効か？

主な発見

• 絶対的正規性（β-混合）条件下では、非重複ブロックブートストラップの分布推定器はサンプル平均に対して強い一貫性を示す。
• ジニの平均差やカイ二乗検定統計量を含むU統計量に対しても、同じ依存構造下でブートストラップは強い一貫性を示す。
• この手法により、強混合が成り立たない弱依存過程における非線形統計量のブートストラップ有効性が拡張される。
• 理論的結果により、弱依存を示す混沌とした力学系における推論にブートストラップを用いる根拠が得られる。
• パrameter空間全体にわたって一貫性が成立し、実用的応用におけるロバスト性が保証される。
• 本研究の結果は、決定的カオスに起因する弱依存時系列における非重複ブロックブートストラップの実用的応用の理論的基盤を提供する。