[論文レビュー] Bootstrapping Non-commutative Gauge Theories from L$_\infty$ algebras

Ralph Blumenhagen, Ilka Brunner+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非可換ゲージ理論における非定数の非可換性パラメータを有する理論が、基礎となる L∞代数を介して体系的に構築可能であると提唱している。この L∞代数は、対称性と力学を両方支配する。D-brane が WZW モデルや可積分性を有する変形に置かれているような弦理論的設定にこの枠組みを適用することで、非可換 Chern-Simons 理論および非可換 Yang-Mills 理論が、非可換性パラメータの2次までで、微分および曲率補正を含めて代数的ブートストラップが可能であることを示し、非結合的状況における A∞代数構造と整合的であることを示している。

ABSTRACT

Non-commutative gauge theories with a non-constant NC-parameter are investigated. As a novel approach, we propose that such theories should admit an underlying L$_\infty$ algebra, that governs not only the action of the symmetries but also the dynamics of the theory. Our approach is well motivated from string theory. We recall that such field theories arise in the context of branes in WZW models and briefly comment on its appearance for integrable deformations of AdS$_5$ sigma models. For the SU(2) WZW model, we show that the earlier proposed matrix valued gauge theory on the fuzzy 2-sphere can be bootstrapped via an L$_\infty$ algebra. We then apply this approach to the construction of non-commutative Chern-Simons and Yang-Mills theories on flat and curved backgrounds with non-constant NC-structure. More concretely, up to the second order, we demonstrate how derivative and curvature corrections to the equations of motion can be bootstrapped in an algebraic way from the L$_\infty$ algebra. The appearance of a non-trivial A$_\infty$ algebra is discussed, as well.

研究の動機と目的

• 弦理論に由来するインスピレーションを受けて、非定数の非可換性パラメータ Θ を持つ非可換ゲージ理論の物理的に妥当な体系的構築原理を提供すること。
• このような理論が、ゲージ対称性と力学の両方を符号化する基礎となる L∞代数から導出可能であることを示すこと。
• 非可換性パラメータの2次までで、非結合的スター積に A∞代数構造を導入することにより、フレームワークを拡張すること。
• 非可換性パラメータの2次までで、高次積の明示的計算と A∞関係式の満たし方を示し、ブートストラップ手続きの整合性を示すこと。

提案手法

• 著者たちは、ゲージ対称性と運動方程式が一般化されたヤコビ恒等式を満たす高次積に符号化された L∞代数フレームワークを用いる。
• SU(2) WZW モデルにこのフレームワークを適用し、ファジー2次元球面上の行列値ゲージ理論が L∞代数から生じることを示した。
• 微分および曲率補正は、L∞構造における代数的関係を通じて、O(Θ²) まで体系的に生成された。
• 非結合的状況では、非自明な4次積 m₄ が導入され、構造定数 Πijk に比例し、A∞関係式との整合性からその形が固定された。
• すべての A₄ および A₅ 関係式が O(Θ²) まで満たされていることを確認することで、構成が検証された。高次関係式は、次数の切り捨てのため自明に満たされた。
• 2次積 m₂(f,g) は、コンツェビッチスター積と同一視され、量子補正が最初から含まれていることが保証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数の Θ を持つ非可換ゲージ理論は、統一的な代数的枠組みを用いて一貫して構築可能か？
• RQ2 基礎となる L∞代数が、このような理論において、ゲージ対称性と力学の両方を自然に符号化するか？
• RQ3 非定数の Θ を持つ非可換ゲージ理論において、微分および曲率補正はどのように代数的に生じるか？
• RQ4 非結合的非可換ゲージ理論において A∞代数の役割は何か？また、高次積はどのように制約を受けるか？
• RQ5 ブートストラップ手続きは O(Θ²) を超えて拡張可能であり、代数的関係の整合性を保ったまま継続可能か？

主な発見

• L∞代数フレームワークにより、非可換 Chern-Simons 理論および Yang-Mills 理論の運動方程式に対して、O(Θ²) まで微分および曲率補正が体系的に生成された。
• 非結合的状況では、Πijk に比例する非ゼロの4次積 m₄(f,A,B,C) が要求され、明示的に構成され、すべての A₄ および A₅ 関係式を満たした。
• O(Θ²) までで A∞代数の整合性が保たれ、次数の切り捨てのため高次 Aₙ 関係式は自明に満たされた。
• 2次積 m₂(f,g) はコンツェビッチスター積と同一視され、量子補正が含まれており、古典的ポアソン括弧とは異なる。
• D-brane が WZW モデルに存在するなど、既知の弦理論的例と整合的である。また、AdS₅ シグマモデルの可積分変形に対しても一致した。
• 段階的ブートストラップ手続きにより、低次の関係式が成立している限り、各次数での整合性条件が自動的に満たされることが示され、高次への拡張が可能である可能性を示唆した。