[論文レビュー] Bootstrapping Two-phase Sampling

Takumi Saegusa|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、漸近的分散が閉形式で与えられない半パラメトリックモデルにおける分散推定を扱うために、無作為抽出を伴わない二段階層別抽出のための新しいノンパラメトリックブートストラップ手順を提案する。段階別および層別ブートストラップ重みを組み合わせることで、逆確率加重付き経験過程の条件付き弱収束を確立し、複雑な抽出設計下での加重尤度推定量およびM/Z推定量に対する有効な推論を可能にする。

ABSTRACT

We propose a nonparametric bootstrap procedure for two-phase stratified sampling without replacement. In this design, a weighted likelihood estimator is known to have smaller asymptotic variance than under the convenient assumption of independence often made in practice. Variance estimation, however, has not been well studied for semiparametric models where variance may not have a closed form. Motivated by semiparametric inference, we establish conditional weak convergence of bootstrap inverse probability weighted empirical processes with several variants of calibration. Two main obstacles to applying existing bootstrap empirical process theory are the dependent and biased sample due to sampling design, and the complex limiting processes of the linear combinations of Brownian bridge processes. To address these issues, the proposed bootstrap weights take the form of the product of two weights corresponding to randomness from each phase and stratum. We apply our bootstrap to weighted likelihood estimation and establish two Z-theorems for a general semiparametric model where a nuisance parameter can be estimated either at a regular or a non-regular rate. We show different bootstrap calibration methods proposed in the survey sampling literature yield different bootstrap asymptotic distributions.

研究の動機と目的

• 無作為抽出を伴わない二段階層別抽出における加重尤度推定量の信頼性の高い分散推定手法の欠如に対処する。
• 非独立で偏った標本およびブラウン運動ブリッジ過程の線形結合を含む複雑な極限分布に起因する課題を克服する。
• i.i.d.観測および交換可能でないブートストラップ重みを伴う抽出設計に、経験過程理論をブートストラップに拡張する。
• 一般半パラメトリックモデル、特にM推定量およびZ推定量に適用可能な理論的裏付けのあるブートストラップ手順を提供する。
• 調査抽出における異なるキャリブレーション手法が、ブートストラップの漸近的分布に異なる影響を与えることを示し、手法の柔軟性を高める。

提案手法

• 段階I用のi.i.d.重みと段階II用の層別抽出重みの積として構成されるブートストラップ重み構造を提案し、両段階のランダムネスおよび層のランダムネスを捉える。
• 依存性および交換不可能性に対処するため、ブートストラップIPW経験過程を段階Iおよび段階IIの成分に分解する。
• 段階I重みを条件とした段階II過程の弱収束を示すことで、ブートストラップIPW経験過程の条件付き弱収束を確立する。
• 乗数不等式および対称化技術を用いて経験過程ノルムをバインドし、van der VaartとWellnerの結果（例：Lemma 2.9.1）を応用する。
• 交換可能重みブートストラップフレームワークを用い、無作為抽出を伴う抽出に適応し、[30]および[37]のツールを複雑な調査抽出設計に拡張する。
• 段階Iおよび段階IIの抽出ランダムネスを段階的に処理するボトムアップの証明戦略を導入し、最小限のモーメント条件の下で収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的分散が閉形式で与えられない状況において、無作為抽出を伴わない二段階層別抽出のためのブートストラップ手順を開発できるか？
• RQ2 無作為抽出を伴う有限母集団調査から生じる依存的でi.i.d.でない標本を扱うために、ブートストラップ理論をどのように拡張できるか？
• RQ3 調査抽出における異なるキャリブレーション手法が、ブートストラップ推定量の漸近的分布に果たす役割は何か？
• RQ4 提案されたブートストラップ手法は、M推定量およびZ推定量を含む一般半パラメトリックモデルに対して、複雑な抽出設計下でも有効な推論を提供するか？
• RQ5 交換不可能なブートストラップ重みおよび複雑な極限過程を伴う状況でも、ブートストラップIPW経験過程の条件付き弱収束を確立できるか？

主な発見

• 提案されたブートストラップ手順は、無作為抽出を伴わない二段階層別抽出下で、逆確率加重付き経験過程の条件付き弱収束を成功裏に確立した。
• 段階Iおよび段階IIの層別重みの積として構成されるブートストラップ重みは、二重のランダムネス源を捉え、正しい分散推定を可能にする。
• 調査抽出における異なるキャリブレーション手法は、ブートストラップの漸近的分布を異なるものにし、キャリブレーション選択に対する手法の感受性を示している。
• 本手法は、正規または非正規収束率を示す推定量を含む一般半パラメトリックモデルに適用可能であり、加重尤度推定を越えて拡張可能である。
• 理論的結果から、ブートストラップ推定量が正しい漸近的分布を達成しており、無作為抽出を伴う状況下で標準的ノンパラメトリックブートストラップが示す過大推定の問題を回避することが分かった。
• 依存性および交換不可能重みの主な障害を克服するため、分解と逐次収束を含む証明戦略が、最小限の正則性条件の下で手法の妥当性を裏付けた。