[論文レビュー] Border bases and order ideals: a polyhedral characterization

Gábor Braun, Sebastian Pokutta|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、次元が0の多項式イデアルに対する境界基底をサポートするすべての順序イデアルを、多面体的特徴付けすることで提示している。その結果、それらは順序イデアルポリトープの整数点とちょうど一致することが示された。本稿では、このポリトープ上で線形最適化を用いることで、任意の順序イデアルに対する境界基底を計算するアルゴリズムを導入している。また、関連する変数選択問題がNP困難であることを証明し、すべての凸包の完全な線形記述には超多項式的な制約が必要であることを示している。

ABSTRACT

Border bases arise as a canonical generalization of Gröbner bases. We provide a polyhedral characterization of all order ideals (and hence border bases) that are supported by a zero-dimensional ideal: order ideals that support a border basis correspond one-to-one to integral points of the order ideal polytope. In particular, we establish a crucial connection between the ideal and its combinatorial structure. Based on this characterization we adapt the classical border basis algorithm to allow for computing border bases for arbitrary order ideals, which are independent of term orderings. We also show that finding a maximum weight order ideal that supports a border basis is NP-hard, and that the convex hull of admissible order ideals has no polynomial polyhedral description.

研究の動機と目的

• 次元が0のイデアルに対する境界基底をサポートするすべての順序イデアルの完全な組み合わせ的および幾何的特徴付けを提供すること。
• 許容可能な順序イデアルと順序イデアルポリトープの整数点との間の一対一対応を確立すること。
• 項順序に依存しない、任意の順序イデアルに対する境界基底を計算するアルゴリズムを開発すること。
• 最適な順序イデアルの選択の計算複雑度を分析し、それがNP困難であることを示し、すべての凸包の完全な線形記述には超多項式的な不等式が必要であることを示すこと。
• 小規模なシステムにおける計算実験を通じて、本手法の実用的妥当性を示すこと。

提案手法

• 本稿では、次元が0のイデアルに対して、与えられたサイズのすべての順序イデアルの特性ベクトルの凸包として、順序イデアルポリトープを定義する。
• 順序イデアルが境界基底をサポートするための必要十分条件が、このポリトープ内の整数点に対応することを証明する。
• 最適な順序イデアルの選択を、順序イデアルポリトープ上で線形計画問題として定式化し、単項式に対するユーザー定義の重みベクトルを最大化する。
• アルゴリズムは、KehreinとKreuzerの境界基底アルゴリズムを、最適化によって得られた任意の順序イデアルに適応させ、計算複雑度は最小限のオーバーヘッドを除いて元のアルゴリズムと同一である。
• 次数整合性を持つ順序イデアルのための線形制約を、イデアルのL安定化スパンを用いて導出し、標準的なLP形式への効率的な符号化を可能にする。
• 計算的妥当性の検証にはCPLEXとSCIPを用い、最適化および列挙タスクを実行し、中程度の複雑さのシステムですでに1秒未塔の最適化時間を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた次元が0のイデアルに対して、どの順序イデアルが境界基底をサポートするか。そして、それらを完全に特徴づける方法は何か？
• RQ2 すべてのこのような許容可能な順序イデアルの集合は、多面体的構造で記述可能か。その幾何学的・組み合わせ的性質は何か？
• RQ3 項順序に依存しないアルゴリズムを用いて、任意の与えられた順序イデアルに対する境界基底を計算することは可能か？
• RQ4 最適な順序イデアル（例：数値的安定性やスパarsityを考慮）の選択の計算複雑度は何か？
• RQ5 すべての許容可能な順序イデアルの凸包のコンactな線形記述は構築可能か、それとも超多項式的な制約が必要か？

主な発見

• 次元が0のイデアルに対する境界基底をサポートするすべての順序イデアルは、順序イデアルポリトープの整数点とちょうど一致する。
• 最適な順序イデアルを特定する変数選択問題はNP困難であるため、このようなイデアルの選択には本質的な計算的困難性が内在している。
• すべての許容可能な順序イデアルの凸包の完全な線形記述には、超多項式的な数の不等式が必要であり、コンパクトな記述は不可能である。
• 提案されたアルゴリズムは、標準的手法と同等のリソース要件で任意の順序イデアルに対する境界基底を計算可能であり、ポリトープ上での効率的な最適化のおかげでわずかなオーバーヘッドのみを伴う。
• 計算実験の結果、複雑な重みベクトルを用いても、すべてのテストインスタンスで最適化に1秒未塔で完了することが確認された。
• 小規模から中規模のインスタンスでは、すべての許容可能な次数整合性を持つ順序イデアルの列挙が可能であり、最大108,900個のイデアルを55秒未塔でカウントした。